第4章级数综述.ppt

第4章级数;重点与难点;1.复数列;表达式;2) 复级数的收敛与发散;非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.;称为这级数的部分和.;4. 幂级数; 同实变函数一样,关于幂级数也有: 1.收敛圆与收敛半径 2.级数在其收敛圆内有如下性质: 1)可以逐项求导. 2)可以逐项积分. 3)在收敛圆内, 幂级数的和函数是解析函数.;在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出;方法1: 比值法;4)幂级数的运算与性质;复变幂级数在收敛圆内的解析性;(2);例1求 的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形);5. 泰勒级数;常见函数的泰勒展开式;;1. 只要函数 在圆盘 内解析, 就可在 展开成泰勒级数; 2. 此时泰勒级数, 泰勒展开式, 的幂级数为同意语; 3. 若 在 平面内处处解析,则 4. 若 只在区域 内解析, 为 内的一点, 则 在 的泰勒展开式的收敛半径 等于 到的 边界上各点的最短距离; 5. 若 在 平面上除若干孤立奇点外内处处解析,则 等于 到最近的孤立奇点的距离.;例2把函数 展开成 的幂级数 ;;;结论:;例如，;所以;二、洛朗级数的概念;说明:;幂级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域: 内的洛朗级数也具有. 1.在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导, 2.在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项积分, 3.在收敛圆环域内的洛朗级数的和函数是解析函数 ;三、函数的洛朗展开式;根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可;例1 ;o;;;仍有;注意:;2. 给定了函数;解 ;例4;五、小结与思考;洛朗级数与泰勒级数有何关系?; 洛朗级数是一个双边幂级数, 其解析部分是 一个普通幂级数;