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矩阵的迹 平顶山学院本科毕业论文（设计） PAGE 16 PAGE 17 PINGDINGSHAN UNIVERSITY 毕业论文(设计) 题 目: 院(系): 专业年级: 姓 名: 学 号: 指导教师: 月 日 (空一行,小四) 矩阵的广义迹 (空一行,小四) XXX (数学与信息科学学院2004级X班) 指导教师 XXX教授 (空一行,小四) 摘要: 本文首先讨论了矩阵迹的若干重要性质，包括:可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等,并且证明了矩阵迹的唯一性．然后,利用分块矩阵的思想及辗转相除法(带余除法),引入了一般矩阵的广义迹的概念, 它是方阵迹的一个自然推广,研究了这种广义迹的一系列重要性质．最后,给出了具体实例说明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法,并对各条性质给予了验证． 关键词: 矩阵， 广义迹，分块矩阵， 带余除法 (空一行,小四) Generalized traces of matrices WANG Xiu-ying (Class 1, Grade 2002, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor CAO Huai-xin (空一行,小四) Abstract: In this paper, a series of important properties of the usual trace of matrices are given, including: additivity, homogeneousness, transpose-invariance, commutative invariance, and the uniqueness of the usual trace is also proved. Next, by using block-decomposition of an matrix and the division algorithm, the concept of generalized trace of a matrix is introduced．Some important properties of this generalized trace are given. Finally, some examples are given in order to illustrate the concept, computation and properties of the generalized trace. Key words: matrix，generalized trace，block-matrix，division algorithm (空一行,小四) 矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是阶矩阵的一个重要的数量特征．在普通高校的高等代数教科书中,只是给出了一个行列的矩阵算子迹(方阵对角线元素之和,其中,为方阵对角线上的元素)的定义及其某些重要的性质，参见文献[1-3],文献[10,11,13]．文献[4]得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件，并把所得结果推广到了复矩阵情形．文献[5-7]中,研究了Hilbert空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质．特别地,文献[5]给出了迹类算子的若干不等式,并证明了Hilbert空间中的Bellman不等式对及任二正的迹类算子与成立．同时还证明了当时,对任一迹类算子,不等式也成立．文献[6]将Jan R. Magnus关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert空间上算子迹的相应命题,由此得到一个证明算子迹的H?lder不等式的方法,同时得到关于算子迹的H?lder不等式的几个等价命题并最后给出了算子迹的Minkowski不等式的一个证明．文献[8,9]中，定义了在C*-代数上的矩阵迹是一个满足以下条件的正线性映射： , , 给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了:如果是可交换的C*-代数，则映射是上的矩阵迹当且仅当中存在一个元素（）使得 , 其中．本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地矩阵上，给出一般矩阵广义算子迹的概念,并证明矩阵广义迹的一系列重要性质． (空一行,小四) 1．预备知识 1.1 矩阵的迹及其性质 在本文中