第7章 离散系统状态空间设计综述.ppt

第7章 离散系统状态空间设计 ;7.1 线性离散系统输出反馈设计 7.1.1 在单位阶跃信号作用下单变量最少拍系统设计 ;连续控制对象的状态空间方程为 若采用零阶保持器，则连续部分离散化状态空间方程为 设采样周期T=1秒，则上式为 ; 若要求在单位阶跃输入下，系统的调整时间为最少拍，就必须确定适当的数字序列u(k)，以便是被控对象在u(k)的作用下，能从初态x1(0)=x2(0)=0（假定初态为零，且离散化后是状态完全可控的）经N拍后转移到对应于输出y(t)恒等于输入r(t)=1时的终态。用数学关系表示为 其中 tf是对应于N拍的终态时间。y(t)的导数为0，意味着输出跟踪上输入之后，输出就不再变化了。因此，上式就是无稳态误差且无波纹的条件，因为tf对应于某个离散时刻NT，所以上式又可变为 式中正整数N是最少拍的拍数。 ;1．有波纹设计（N=1） 令k=0，得到第一个采样周期的状态转移方程为 由于x1(0)=x2(0)=0，故得到 显然，对于同一个u(0)，要同时满足以上两式是不可能的。因此，只经过一拍输出就跟踪输入，就可能出现波纹。事实上，若只考虑条件x1(1)=0.368 u(0)时，就是经过一拍后，输出能跟踪输入，但存在波纹。因此，只考虑满足条件x1(1)=0.368 u(0)且x1(1)=1即可，则有u(0)=1/0.368=2.72，可求得x2(1)=0.632×2.72=1.72≠0，这表明无波纹条件不能得到满足，所以是有波纹的。;为了能得到这种有波纹情况下的数字控制器D(z)，为此取k=1，即可得到第二个采样周期的状态转移方程为 将x1(1)=1，x2(1)=1.72得到 如果只考虑满足x1(2)= y(2)=1的条件，而不考虑x2(2)=0的条件，则由上式得到 ;同理，取k=2，并用x1(3)= y(3)=1，可求得u(2)=2.12，类似地，可取k=3,4,…，并用x1(k)= y(k)=1条件，就可求得u(3)=-1.52，u(4)=1.08，…，则可得到u(k)的Z变换为 由于U(z)=D(z)E(z)，因此，若要求得D(z)还应求得E(z)。根据关系e(k)=r(k)-y(k)=1-y(k)，k=0,1, 2,…，因此，当k=0时，有e(0)=1-y(0)=1-x1(0)=1，又根据最少拍（N=1）消除误差，即y(1)= r(1)=1或e(1)=0，这就表明，当k0时，应有e(k)=0。于是，就得到e(k)的Z变换为 ;根据所求得的U(z)和E(z)，便可得到数字控制器D(z)为 上式就是在单位阶跃输入下，系统输出经过一拍就能跟踪输入的数字控制器D(z)。但由于输出y(t)的导数不为0，所以是有波纹的，如图7.3所示。 ;图7.3 单位阶跃输入有波纹最少拍系统输出特性;2．无波纹设计（N=2） 如果系统在单位阶跃输入下能在两拍内使系统从零初始状态转移到所规定的终态，那么就可以保证系统的输出y(t)能在两拍后达到无波纹、无稳态误差跟踪输入。经过两拍的状态转移方程为 根据N=2拍完全跟踪，即两拍后无波纹、无稳态误差，在零初始条件下，应有 ;解得 所求得的u(0)=1.58和u(1)=-0.58就是用来驱动系统从零初始x(0)=0，转移到终态x1(2)=1，x2(2)=0所需要的控制器输出序列u(k)前两拍的值。由于系统从初态转移的终态只需要两拍，因此，当k2时，u(k)=0，说明系统输出经过两拍后完全跟踪输入，则有 根据e(k)=r(k)-y(k)= r(k)-x1(k)，得到 e(0)=r(0)-x1(0)=1-0=1 e(1)=1-x1(1)= 1-0.368 u(0)=1-0.368×1.58=0.419 同理，当k2时，e(k)=0，于是得到 ;因此，在N=2时的数字控制器D(z)为 图7.4表示了系统的单位阶跃控制过程，调整时间为两拍，且无波纹、无稳态误差。 ;图7.4 单位阶跃输入无波纹最少拍系统输出特性;上述N=1和N=2两种情况表明，系统的调整时间为一拍时，只能满足x1(N)=1，而不能满足x2(N)=0条件，所以系统输出就出现了波纹；当调整时间增加一拍时，满足了x1(N)=1且x2(N)=0条件，所以系统能实现两拍跟踪且无稳态误差、无波纹。 从这里可以看到调整时间每增加一拍，就可以对系统性能增加一项要求，且得到满足。可以想见，当N3时，对系统的要求可以增加，例如，可以满足由于控制对象执行元件的饱和特性对输入幅值限制的要求，或最大速度和最大加速度限制的要求等等，以便使得它们的数值大小限制在整个控制过程中所允许的范围内。;7.1.2 在单位速度信号作用下单变量最少拍系统设计 ;显然，N=1是没有意义的，因为e(0)=r(0)-y(0)=