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第七章 逐步回归综述
第七章 逐步回归方法引 言;第一节 回归系数(预报因子)的显著性检验; 要对 作假设检验,自然就要寻找它的样本统计量 和与它有关的统计量的分布。
因为最小二乘估计的 是随机变量 的线性函数,由于这些随机变量是遵从正态分布,则 也遵从正态分布。 ;在假设条件成立下,统计量
遵从自由度为(1,n-p-1)的F分布,其中,
为矩阵 中对角线上第k个元素。
确定信度以后,查表求出标准值,若 ,
说明该因子方差贡献显著,保留该因子,否则可
以考虑从回归方程中剔除出去。;预报因子数目增多的优缺点:
优点: 一般而言,回归方程中包含的因子个数越多,回归平方和就越大,残差平方和越小,残差方差的估计就越小,预报值的置信区间就越小,方程一般也较容易通过检验。
缺点: 但因子数增多,也给方程增加了不少与预报量关系不大的因子,给预报带来下面三个明显缺点:; 1)因子增多,计算量增大,计算时间增
多(计算量增大)。
2)方程中若含有对y不起作用或者作用
极小的因子,残差平方和不会由于这些变量
的增加而减少多少,相反由于Q自由度减小,
残差方差估计值增大,使预报置信区间估计
值增大;
3)由于存在对预报量y影响不显著的因
子,随之带来许多其他与预报量无关的随机
因素,影响回归方程的稳定性,反而使预报
效果下降。;关键问题:
既要选择对预报量影响显著的因子,又要使回归方程的残差方差估计很小,这样才有利于气象预报。如何选择这种最优的回归方程呢?
————————逐步回归方法;逐步回归的三种方案;逐步剔除法; 因为在做单个因子检验时,
上式中的分母是不变的(不同因子检验时),
因此,只比较各因子的分子部分即可,从它
们中找出最小者作F检验。若检验结果显著,
则其余因子自然显著;若检验结果不显著,
则剔除这一因子,然后对少一个因子的方程
重复上一过程。;3、因子的方差贡献
这一方案的步骤中每次仅比较统计量,这个统计量是十分重要的,常被称为因子的方差贡献,或称为偏回归平方和,记为
从 中选出方差贡献最小者,记
为 ,再作F检验,检验时使用下面的公
式 ;
其中,l为检验时回归方程中所含因子个
数, 表示回归方程含l个变量时的残
差平方和。;4、 存在的三个问题
1)因子的方差贡献代表什麽样的意义?
2)为何不同时把几个不显著的因子从方程中剔除出去,而是要每次剔除一个?
3)在过程中,每剔除一个因子就要重新计算新方程中的回归系数,当因子较多时,计算量很大,如何解决?
; 我们知道,回归平方和是所有因子对预报量的总贡献。所考虑的因子越多,回归平方和越大,若去掉一个因子,回归平方和只会减小,不会增加。减少的数值越大,说明该因子在回归中所起的作用越大,表明该因子越重要,可用此衡量该因子的方差贡献大小。下面介绍这个量的大小。; 设 为l个变量
对应的回归平方和, 为l-1个变
量,即去掉第k个因子时的回归平方和
它们的差 就是去掉第k
个因子后,回归平方和的减少量。这
部分叫做偏回归平方和,可以衡量每
个因子在回归中所引起的作用的大小。; 在剔除因子过程中,假如 方差贡献都比较小,我们只能剔除其中的最小者,而不应该全部去掉。因为这两个因子之间可能存在密切相关关系,剔除第一个因子后,其对y的影响可能很大程度转移到第二个因子对y的影响上。所以回归平方和不会因此减小很多。但如果同时去掉两个因子,就会比较多的减少回归平方和,从而影响回归的精度。;;逐步引进方法
1. 概念
在一批待选的因子中,考查他们对预报量y的方差贡献,挑选所有因子中方差贡献最大者,经统计检验是显著的,进入回归方程。
; 如从 等因子中
考察哪个因子方差在一元回归方程中
贡献最大,故首先计算:
其中, 表示回归方程中无任何因
子时的回归平方和,此时为0。 ;假如在p个因子中, 的方差贡献最
大,记为 ,则据回归系数的检验
公式遵从F分布的统计量进行检验:
若显著,则引进该因子。
;设到l步,方程已有l个因子。若考虑从p-l个因
子中引进哪个变量时,还是要考察他们各个因
子引进后的方差贡献,仍选取最大者,记为
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