全国2010年4月高等教育自学考试-复变函数与积分变换试题与答案-课程代码02199讲述.doc

浙02199#　复变函数与积分变换试卷　第  PAGE 8 页 共  NUMPAGES 8 页 全国2010年4月高等教育自学考试 复变函数与积分变换试题 课程代码：02199 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.arg(-1+)=( ) A.- B. C. D.+2nπ 2.w=|z|2在z=0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导 D.解析 3.设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是( ) A.f(z)=x2-y2+i2xy B.f(z)=x-iy C.f(z)=x+i2y D.f(z)=2x+iy 4.设C为由z=-1到z=l的上半圆周|z|=1，则=( ) A.2πi B.0 C.1 D.2 5.设C为正向圆周|z|=1，则=( ) A.-πi B.0 C.πi D.2πi 6.设C为正向圆周|z|=2，则dz=( ) A.0 B.e-1 C.2πi D.-πe-1i 7.z=0是的极点，其阶数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.以z=0为本性奇点的函数是( ) A. B. C. D. 9.设f(z)的罗朗展开式为-+(z-1)+2(z-l)2+…+n(z-1)n+…则Res[f(z),1]=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 10.设z=a为解析函数f(z)的m阶零点，则函数在z=a的留数为( ) A.-m B.-m+l C.m-1 D.m 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.|z-i|=|z-1|的图形是_______________. 12.设z=ii，则Im z=_______________. 13.设C为由点z=-l-i到点z=l+i的直线段，则dz=_______________. 14.设C是顶点为z=±,z=±的菱形的正向边界，则dz=______________. 15.设C为正向圆周|z|=1，则cos zdz=_________. 16.函数在点z=4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z=x+iy,求复数的实部与虚部.（6分） 18.求复数i8-4i25+i的模.(6分) 19.求f(z)=(z-1)2ez在z=1的泰勒展开式.(6分) 20.求f(z)=在圆环域1|z|2内的罗朗展开式.(6分) 21.求解方程cos z=2.（7分） 22.设z=x+iy,试证v(x,y)=x2+2xy-y2为调和函数，并求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).(7分) 23.设C为正向圆周|z-2|=1,求dz.(7分) 24.设C为正向圆周|z|=1，求dz.(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分） 25.（1）指出f(z)=在上半平面内的所有奇点及类型； （2）计算f(z)在以上奇点的留数； （3）利用以上结果计算实积分dx. 26.设D为Z平面上的扇形区域0arg z.试求下列保角映射： （1）w1=f1(z)把D映射为W1平面的上半平面Im w10; （2）w=f2(w1)把Im w10映射为W平面上的单位圆盘|w|1，并且满足f2(2i)=0; （3）w=f(z)把Z平面上的区域D映射为W平面上的单位圆盘|w|1. 27.用拉普拉斯变换解方程y(t)=sin t-2