第三讲三次样条函数综述.ppt

计算方法;本讲主要问题 ; 分段插值存在着一个缺点, 就是会导致插 值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑, 即导 数不连续, 对于一些实际问题, 不但要求一阶导数 连续, 而且要求二阶导数连续. 为了满足这些要求, 人们 引入了样条插值的概念.; 定义 设f(x)是区间[a, b]上的一个连 续可微函数, 在区间[a, b]上给定一组节点: a=x0x1x2???xn=b 设函数S(x)满足条件:; 样条插值的思想: 逐段选取适当的 低次多项式, 按一定的光滑性要求连接起来 构成插值函数.;;; 例1 给定区间[0, 3]上 3 个点的函数 值 f(0)=0, f(1)=2, f(3)=4, 试求数 a, b, c, d, 使函数 S(x)为给定点上的三次样条插值 函数. 其中; 给定n+1个样点(xi, yi )(i=0, 1, …, n), 确定一个三次样条插值函数需要4n个独 立条件. 在定义中, 已指定了4n–2个条件, 即;三、三次样条函数的构造 ——三弯矩插值法; 对S??(x)连续积分两次, 并利用插值 条件S(xi)= yi , 得到; 下面考虑 Mi 的求法.; 下面介绍几种常用的边界条件 第1型边界条件: 已知f(x)在两端点的导数f?(a)和f?(b), 要求 S(a) = f (a), S(b) = f (b) 第2型边界条件: 已知f(x)在两端点的二阶导数f ??(a)和f ??(b) ,要求 S??(a)=M0 = f ??(a), S??(b)=Mn= f ??(b) 特别当 S??(a)= S??(b) =0时, S(x)称为自然三次样条. 第3型边界条件： 已知f(x)是以b –a为周期的周期函数, 要求S(x)满 足周期条件 S(a) = S(b), S(a+)= S(b–), S??(a+)= S??(b–) ; 三次样条插值问题加上第 i 型边界 条件称为第 i型插值问题(i＝1, 2, 3). 可 以证明第 i 型插值问题的解是存在且唯一的.;对于第1型插值问题: ; 以上各组条件与前述方程组联立, 可以解出未知参数 M0, M1, … , Mn, 然 后代入S(x) 表达式, 即可求得样条函数.; 求三次样条插值函数的步骤归纳为:; 例2 给定函数表, 求自然三次样条 插值函数, 并求f(3).; 练习