几何图形中的最值问题讲述.doc

2014年几何图形中的最值问题谷瑞林 第  PAGE 11 页 共  NUMPAGES 11 页 几何图形中的最值问题 引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题: 1.函数:①二次函数有最大值和最小值；②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。 2.不等式: ①如x≤7，最大值是7；②如x≥5，最小值是5. 3.几何图形： ①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短，③在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 一、最小值问题 例1. 如图4，已知正方形的边长是8，M在DC上，且DM=2，N为线段AC上的一动点，求DN+MN的最小值。 解: 作点D关于AC的对称点D/，则点D/与点B重合，连BM,交AC于N，连DN，则DN+MN最短,且DN+MN=BM。 ∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6, 在Rt△BCM中,BM==10, ∴DN+MN的最小值是10。 例2，已知，MN是⊙O直径上，MN=2,点A在⊙O上，∠AMN=300,B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值是 解:作A点关于MN的对称点A/,连A/B,交MN于P，则PA+PB最短。 连OB，OA/, ∵∠AMN=300,B是弧AN的中点， ∴∠BOA/=300, 根据对称性可知 ∴∠NOA/=600, ∴∠MOA/=900, 在Rt△A/BO中，OA/=OB=1, ∴A/B= 即PA+PB= 例3. 如图6，已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P，使点P到D、E两点的距离之和最小，并求出最小值。 解:作点E关于直线y=x的对称点M， 连MD交直线y=x于P，连PE， 则PE+PD最短；即PE+PD=MD。 ∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1), 过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于N， 则MN⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1), 在Rt△MND中,MN=5,ND=2, ∴MD==。 ∴最小值是。 练习 1.（2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm． 【答案】15。 【解】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P， 连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。 由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。 由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。 在Rt△BCD中，由勾股定理得。 ∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15， 即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。 2.正方形ABCD边长是4，∠DAC的平分线交CD与点E，点P,Q分别是AD,AE上的动点（两动点不重合），则PQ+DQ的最小值是 解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， 则DF即为PQ+DQ的最小值． ∵正方形ABCD的边长是4， ∴AD=4，∠DAC=45°， 在直角△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=45°，AD=4， ∴DF=AD?sin45°=4×=2 故答案为2 3.（2009?陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM ＋MN的最小值是______． 解:过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上， 且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短，即为B/H最短。 在Rt△AHB/中， ∠B/AH＝45°，AB/=4， ∴B/H=4, ∴BM ＋MN的最小值是4. 4.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ， 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC， ∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°， 作点P关于直线BD的对称点P′，连接P/Q，PC， 则P/Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知， 当点Q与点C重合，CP/⊥AB时PK+QK的值最小， 在Rt△BCP/中，∵BC=AB=2，∠B=60°， ∴CP/=BC?sinB=2×=． 5. (2012兰州)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】 A．130° B．120° C．