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几何图形中的最值问题讲述
2014年几何图形中的最值问题谷瑞林
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几何图形中的最值问题
引言:最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题:
1.函数:①二次函数有最大值和最小值;②一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。
2.不等式: ①如x≤7,最大值是7;②如x≥5,最小值是5.
3.几何图形: ①两点之间线段线段最短。②直线外一点向直线上任一点连线中垂线段最短,③在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
一、最小值问题
例1. 如图4,已知正方形的边长是8,M在DC上,且DM=2,N为线段AC上的一动点,求DN+MN的最小值。
解: 作点D关于AC的对称点D/,则点D/与点B重合,连BM,交AC于N,连DN,则DN+MN最短,且DN+MN=BM。
∵CD=BC=8,DM=2, ∴MC=6,
在Rt△BCM中,BM==10,
∴DN+MN的最小值是10。
例2,已知,MN是⊙O直径上,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=300,B是弧AN的中点,P是MN上的一动点,则PA+PB的最小值是
解:作A点关于MN的对称点A/,连A/B,交MN于P,则PA+PB最短。
连OB,OA/,
∵∠AMN=300,B是弧AN的中点,
∴∠BOA/=300, 根据对称性可知
∴∠NOA/=600, ∴∠MOA/=900,
在Rt△A/BO中,OA/=OB=1,
∴A/B= 即PA+PB=
例3. 如图6,已知两点D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点P,使点P到D、E两点的距离之和最小,并求出最小值。
解:作点E关于直线y=x的对称点M,
连MD交直线y=x于P,连PE,
则PE+PD最短;即PE+PD=MD。
∵E(-1,-4), ∴M(-4,-1),
过M作MN∥x轴的直线交过D作DN∥y轴的直线于N,
则MN⊥ND, 又∵D(1,-3),则N(1,-1),
在Rt△MND中,MN=5,ND=2, ∴MD==。
∴最小值是。
练习
1.(2012山东青岛3分)如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ▲ cm.
【答案】15。
【解】如图,圆柱形玻璃杯展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长18宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,
连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知
AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,且AP=BP。
由已知和矩形的性质,得DC=9,BD=12。
在Rt△BCD中,由勾股定理得。
∴AP+PC=BP+PC=BC=15,
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
2.正方形ABCD边长是4,∠DAC的平分线交CD与点E,点P,Q分别是AD,AE上的动点(两动点不重合),则PQ+DQ的最小值是
解:过点D作DF⊥AC,垂足为F,
则DF即为PQ+DQ的最小值.
∵正方形ABCD的边长是4,
∴AD=4,∠DAC=45°,
在直角△ADF中,∠AFD=90°,∠DAF=45°,AD=4,
∴DF=AD?sin45°=4×=2
故答案为2
3.(2009?陕西)如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM +MN的最小值是______.
解:过B作关于AD的对称点B/,则B/在AC上,
且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短,即为B/H最短。
在Rt△AHB/中,
∠B/AH=45°,AB/=4,
∴B/H=4,
∴BM +MN的最小值是4.
4.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为 ,
解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,
∵∠A=120°,∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°,
作点P关于直线BD的对称点P′,连接P/Q,PC,
则P/Q的长即为PK+QK的最小值,由图可知,
当点Q与点C重合,CP/⊥AB时PK+QK的值最小,
在Rt△BCP/中,∵BC=AB=2,∠B=60°,
∴CP/=BC?sinB=2×=.
5. (2012兰州)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为【 】
A.130° B.120° C.
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