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对高中数学新教材第二章《函数》的认识 广州市教育局教研室 赵荻帆 映射与函数 函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础，而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。因此，对本章内容力求学习得更好一些。 函数这一章的内容可分为三个单元。 第一单元：映射与函数，主要介绍映射、函数、函数的单调性、函数的奇偶性、反函数及互为反函数的函数图象间的关系。这部分是学习本章内容的基础。 第二单元：指数与指数函数 第三单元：对数与对数函数 本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。 2.1 映射 1.映射是高等数学中最基本、最重要的概念之一，它的定义为：设A与B是两个集合，如果按照某种对应法则f，使得对于??合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则称这一对应(三个要素：集合A、B以及A到B的对应法则f )为集合A到集合B的映射，记作f：A→B. 2.如果有映射f：A→B，使得a∈A和b∈B对应，则称b为a(在f下)的象，a称为 b的原象. 3.对于映射这一概念，应使学生明确以下几点： (1)映射中的两个集合A，B可以是数集、点集或由图形组成的集合等。集合与对应是两个基本数学概念，只按字面来了解，不作数学定义。 (2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射。 (3)映射要求对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有它的象，并且这个象是唯一确定的。这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应元素的唯一性是映射的重要性质，缺一不可。 (4)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象。也就是由象组成的集合(象集)CB. (5)映射允许集合A中不同元素在集合B中有相同的象，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”。 例1 己知映射f：A→B，集合A =｛－3，－2，－1，1，2，3，4｝，集合B中的元素都是A 中 的元素在映射f 下的象，且对 任 意 a∈A，在B中和它对应的元素是∣a∣，则集合B中的元素的个数是( ). (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D)7 解：对应法则 a→∣a∣，而a∈｛－3，－2，－1，1，2，3，4｝，∴ ∣a∣∈｛1，2，3，4｝，即B=｛1，2，3，4｝.象集是集合B.故选(A). 例2 己知(x，y)在映射f作用下的象是(xy，x+y) （1）(－2，3)的象； （2）求(2，－3)的原象. 解：（1）用xy=－6，x+y =1， ∴ (－2，3) 的象为(－6，1). (2)设(2，－3)的原象为(a，b).依题意 解之，得 ∴(2，－3)的原象是(－2，－1)和(－1，－2). 2.2 函数 关于函数的定义 传统定义 设在某个变化过程中有两个变量 x和y，如果对于x在某一范围内的每个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量. 近代定义 设A，B是两个非空数集，f：x→y是从集合A到B的一个映射，则称该映射f：A→B为函数.记作y=f(x).其中.原象的集合A叫做定义域，象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)的值域. 两个定义本质上是一致的①从运动观点出发，②从集合、映射观点出发，在两个非空数集上建立特殊映射。函数的三大要素是：定义.域、值域、对应法则。 判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。 函数的表示方法： 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； 列表法； 图象法。 分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。甚至函数图象处处不连续，也可看作分段函数。 例 D(x)= 如何确定常见函数的定义域？ ( 1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R； ( 2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x取值的集合(R的子集)； ( 3 ) 当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合(R的子集)； ( 4 ) 当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x取值的集合(R的子集)； ( 5 ) 当f(x)表示实际问题中的函数关系时，应考虑在这实际问题中x取值的意义。 已知f(x+1)=求f(0)，f(x). 解： 当x=－1时， x+1=0， f(0)= f(－1+1)= (－1)2 +6(－1)+2=－3. 法一：变量代换 令 x+1=t，则 x=t－1， f(t)=( t－1)2+6(t－1)+2 =t2+4 t－3 f(x) = x2+4 x－3. f(0) =－3.