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利用向量方法求空间角讲述
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利用向量方法求空间角
导学目标: 1.掌握各种空间角的定义,弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角,二面角的平面角,直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想,熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角.
自主梳理
1.两条异面直线的夹角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,在直线a上任取一点作直线a′∥b,则a′与a的夹角叫做a与b的夹角.
(2)范围:两异面直线夹角θ的取值范围是_______________________________________.
(3)向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos θ=________=______________.
2.直线与平面的夹角
(1)定义:直线和平面的夹角,是指直线与它在这个平面内的射影的夹角.
(2)范围:直线和平面夹角θ的取值范围是________________________________________.
(3)向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有sin θ=__________或cos θ=sin φ.
3.二面角
(1)二面角的取值范围是____________.
(2)二面角的向量求法:
①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(CD,\s\up6(→))的夹角(如图①).
②设n1,n2分别是二面角α—l—β的两个面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③).
自我检测
1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
2.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b=(-6,9,6),则( )
A.l1∥l2 B.l1⊥l2
C.l1与l2相交但不垂直 D.以上均不正确
3.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于( )
A.120° B.60°
C.30° D.以上均错
4.(2011·湛江月考)二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2eq \r(17),则该二面角的大小为( )
A.150° B.45° C.60° D.120°
5.(2011·铁岭模拟)已知直线AB、CD是异面直线,AC⊥CD,BD⊥CD,且AB=2,CD=1,则异面直线AB与CD夹角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
探究点一 利用向量法求异面直线所成的角
例1 已知直三棱柱ABC—A1B1C1,∠ACB=90°,CA=CB=CC1,D为B1C1的中点,求异面直线BD和A1C所成角的余弦值.
变式迁移1
如图所示,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,求异面直线BA1和AC所成的角.
探究点二 利用向量法求直线与平面所成的角
例2 (2011·新乡月考)如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.
若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值.
变式迁移2
如图所示,在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,点F是AE的中点.求AB与平面BDF所成角的正弦值.
探究点三 利用向量法求二面角
例3 如图,ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=BC=BA=1,AD=eq \f(1,2),求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小.
变式迁移3
(2011·沧州月考)如图,在三棱锥S—ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC中点.
(1)证明:SO⊥平面ABC;
(2)求二面角A—SC—B的余弦值.
探究点四 向量法的综合应用
例4
如图所示,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=eq \r(3),BD=CD=1,另一个侧面ABC是正三角形.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求二面角B-AC-D的
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