图解法求方程虚根.doc

图解法求方程虚根 如二次函数Y=AX2+BX+C(A,B,C为实数且A不等于0)，当B2-4AC0时，二次函数Y=AX2+BX+C的零点就是方程AX2+BX+C=0的解 当B2-4AC0时，二次函数Y=AX2+BX+C就没有零点，方程AX2+BX+C=0还有解吗？ 通过数系的扩充，我们知道这样的方程有一对共轭虚根。现在我们利用图形计算器，结合实系数一元二次方程和二次函数的相关知识，展开“图解实系数一元二次方程的虚根”的研究。 二次函数Y=AX2+BX+C，（A不等于0)图像的对称轴方程：X=-b/2a图像的顶点坐标：(-b/2a,4ac-b2/4a)一元二次方程AX2+BX+C=0，（A不等于0)△ù0△0实根X=[-b+§(b2-4ac)]/2a或[-b-§(b2-4ac)]/2a虚根X=[-b+§(4ac-b2)?]/2a或[-b-§(4ac-b2)?]/2a根与系数关系：X1+X2=-b/a X1òX2=c/a X1-X2=根与系数关系：X1+X2=-b/a X1òX2= c/a X1-X2=通过这张表格，我们可以发现，一元二次方程AX2+BX+C=0（△0时），虚根X的实部就是函数Y=AX2+BX+C的顶点坐标的横坐标。 接下来，我们用一个较简单的二次方程（X2+2X+3=0），结合图形计算器来研究图解法求方程虚根的虚部。 作出二次函数Y1=X2+2X+3的图像，作出二次函数Y1的对称轴X=1；找出二次函数Y1=X2+2X+3的顶点坐标（-1，2），作出于原函数关于其顶点（-1，2）成中心对称的图像Y2；将Y2的函数图像平移，置对称轴与Y轴重合，定义新函数为Y3（Y3=-X2+2）； 按键??调出?CALCULATE”菜单，求Y3的零点。 通过图形计算器，我们不难看出二次函数Y3=-X2+2的零点为（-§2，0）和（§2，0） 再次通过图形计算器求解二次方程X2+2X+3=0的根的情况。 不难发现，函数Y3=-X2+2零点的横坐标就是方程X2+2X+3=0共轭虚根的虚部。 至此，我们就可以通过图解法求一元二次方程AX2+BX+C=0（△0时）的虚根了。