【优秀教案】高中数学第二册上第八章圆锥曲线方程-8.4双曲线的简单几何性质.docVIP

PAGE  PAGE 17 第 课 题：2．4双曲线的简单几何性质 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2．掌握标准方程中的几何意义 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程 教学难点：渐近线几何意义的证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 名 称双 曲 线定 义 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即 当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2=2时，轨迹是两条射线 当2﹥2时，轨迹不存在标 准 方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关 系 （符合勾股定理的结构） 最大，可以二、讲解新课： 1．范围、对称性 由标准方程可得，当时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点： 特殊点： 实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长 讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程中，令y=0得，故它与x轴有两个交点，且x轴为双曲线的对称轴，所以与其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a. 在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y轴没有交点。但Y轴上的两个特殊点，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线的两顶点， 作Y轴的平行线???经过 作X轴的平行线，四条直线围 成一个矩形 矩形的两条对角线所在 直线方程是（）， 这两条直线就是双曲线的渐近线 分析：要证明直线（） 是双曲线的渐近线，即要证明 随着X的增大，直线和曲线越来越靠拢 也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ｜ 越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ｜ 但因｜MQ｜不好直接求得，因此又把问题 转化为求｜MN｜ 最后强调，对圆锥曲线 而言，渐近线是双曲线具有的性质 ＝ （） 4．等轴双曲线 a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线 结合图形说明：a=b时，双曲线方程变成(或，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角 5．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 6．双曲线的草图 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 焦点在y轴的情况同学们自己研究 7．离心率 概念：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e的关系： ， 因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 (1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约 利用计算机动画先演示出“e的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解 这样做将有助于实在本节的这个难点 8．离心率相同的双曲线 (1)计算双曲线的离心率； (2)离心离为的双曲线一定是吗？举例说明 如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？ (3)离心率为的双曲线有多少条？ 分析：的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k：1(k0)的双曲线，其离心率e都是 9．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 如与 注意的区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线 此即为共