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第二章__线性方程组的数值解法综述

数值计算方法;第二章 线性方程组的数值解法; 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。 例如:电学中的网络问题 用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题 解非线性方程组问题 用差分法或者有限元方法解常微分方程 偏微分方程边值问题等 都导致求解线性代数方程组。 ;这些方程组的系数矩阵大致分为两种 一种是低阶稠密矩阵(例如,阶数大约为≤150) 另一种是大型稀疏矩阵(即矩阵阶数高且零元素较多) ;设有线性方程组Ax = b,其中 为非奇异阵, , 关于线性方程组的数值解法一般有两类: 直接法与迭代法。;1. 直接法 就是经过有限步算术运算,可求得方程组精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差)。如线性代数课程中提到的克莱姆算法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是一种实用的算法.实用的直接法中具有代表性的算法就是本章将阐述的高斯消元法,其它算法都是它的变形和应用. 但实际计算中由于舍入误差的存在和影响,这种方法也只能求得线性方程组的近似解。 这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法,对高阶方程组,既使系数矩阵是稀疏的,但在运算中很难保持稀疏性,因而有存储量大,程序复杂等不足。 近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。;2. 迭代法 就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。 迭代法具有需要计算机的存贮单元较少、编制程序简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变;并在许多情况下收敛较快,故能有效地解一些高阶方程组等优点,但存在收敛性及收敛速度问题。 迭代法是解大型稀疏矩阵方程组(尤其是由微分方程离散后得到的大型方程组)的重要方法。 这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍直接法. 第5章介绍迭代法解线性方程组。; 高斯(Gauss)消去法是解线性方程组最常用的方法之一 它的基本思想是通过逐步消元(行的初等变换),把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组,然后用回代法解此三角形方程组(简单形式)得原方程组的解。 例如: ; 下面讨论一般的解n阶方程组的高斯消去法。 1. 消去过程 将原方程组记为 A(1)x =b(1) 其中A(1)=(aij(1))n?n=(aij)n?n ,b(1)=b (1) 第一次消元。 ;1. 消去过程 (1) 第一次消元。 其中 ;(2) 第k次消元。 ;1. 消去过程 (2) 第k次消元。 注:为减少计算量,令 , 则;1. 消去过程 (3) 当k = n – 1时得 完成第n – 1次消元后得到与原方程组等价的三角形方程组 A(n)x = b(n) 注:当det(A) ≠ 0时,显然有aii(i) ≠ 0,(i = 1,…,n) 称aii(i)为主元素。;2. 回代过程 求解三角形方程组A(n)x = b(n), 得到求解公式 注:求解过程称为回代过程。;3. 算法设计 令 i = k+1,k+2,…,n ;3. 算法设计 function x = gauss(a) m=size(a);n=m(1); for k=1:n-1 for i=k+1:n a(i,:)=a(i,:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k); end end for j=n:-1:1 a(j,n+1)=(a(j,n+1)-a(j,j+1:n)*a(j+1:n,n+1))/a(j,j) end x=a(1:n,n+1);;3. 算法设计 i = k+1,k+2,…,n ;3. 算法设计 在Excel中;;4. Gauss消去法的计算量 以乘除法的次数为主 (1) 消元过程: 消元过程的工作量,参看公式(4.9),k是消元次数,k=1,2,?,n-1,第k步消元时,计算lik(i=k+1,?,n)需要n-k次除法;计算 (i,j=k+1, ?,n)需要(n-k)2次乘法及 (n-k)2次加减法;计算 需要n-k次乘法及n-k次减法,合计:;4. Gauss消去法的计算量 (1) 消元过程: (2) 回代过程: 求xi中, 乘n–i次,除1次,共n–i+1次(i = 1,…,n–1) 共有 ;4. Gauss消去法的计算量 (1) 消元过程: (2) 回代过程: (3) 总次数为 注:当n = 20时约为2670次,比克莱姆法则9.7?1020次大大减少。 ;5. 说明 (1) 若消元过程中出现akk(k) = 0,则无法继续 (2) 若akk(k) ≠ 0,但较小,则小主元做除数将产生大误差 (3) 每次消元都选择绝对值

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