大纲版高二数学下§6.4不等式的解法[修改稿40—50页].docVIP

《魔法数学》大纲版高二数学下·不等式 第 PAGE 50页（共 NUMPAGES 11页） PAGE  PAGE 50 * § 6·4 不等式的解法 * 磨法石——核心知识归纳： （1）一元一次不等式的解法：一元一次不等式ax＞b的解集情况是： ①当a＞0时，解集为；{x| x＞} ②当a＜0时，解集为{x| x＜} （2）一元二次不等式的解法：设a＞0，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两实根，且 x1＜x2，一元二次不等式的解集如下表所示： 类型 解集ax2+bx+c＞0 (a＞0)ax2+bx+c≥0 (a＞0)ax2+bx+c＜0 (a＞0)ax2+bx+c≤0 (a＞0)△＞0{x| x＜x1或x＞x2}{x| x≤x1或x≥x2}{x| x1＜x＜x2}{x| x1≤x≤x2}△=0{x| x≠-，x∈R}Rφ{x| x=-}△＜0RRφφ（3）简单的一元高次不等式的解法：一元高次不等式f (x)＞0用根轴法（或称区间法、穿根法）求解，其步骤是： ①将f (x)的最高次项的系数化为正数； ②将f (x)分解成若干个一次因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线。 ④根据曲线显现出的f (x)值的符号变化规律，写出不等式的解集。 （4）分式不等式： ＞0f (x)·g (x)＞0 ≥0 （5）含绝对值的不等式： | f (x)|＜a(a＞0)-a＜f (x)＜a | f (x)|＞a(a＞0)f (x)＞a或f (x)＜-a 找捷径——难点疑点突破： 1．二次不等式ax2+bx+c＞0与ax2+bx+c＜0的解集规律，需注意都是以a＞0为前提的。 例1：若不等式ax2-2x+3=0的解集为{x|-3＜x＜1}，求ax2+2x-3＜0的解集。 解：由已知可得： x1=-3，x2=1是ax2-2x+3=0的两根，∴-3×1= ∴a=-1 则ax2+2x-3＜0-x2+2x-3＜0x2-2x+3＞0 解集为{x| x＞3或x＜-1} 点评：若x2的系数为负数时，必须转化为正数，才能使用二次不等式解集结论。 2．解高次不等式时，怎样处理(x-a)k符号问题。 例2：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)4 (x+4)(x-5)5≥0 解：∵(x-3)4≥0，(x-5)5与(x-5)同号， 5 3 1 -2 -4 ∴原不等式可化为： 由根轴法可得不等式的解集为{x| x＜-4或-2＜x＜1或x=3或x＞5} 点评：对(x-a)k的处理，可对k为奇数与k为偶数进行讨论，若k=2n，则(x-a)k≥0；若k=2n+1，(x-a)k与(x-a)同号。 3．解分式不等??时，不能随便去分母。 例3：解不等式≥1 解：移项，得-1≥0，通分，得≥0， 即≤0，亦即≤0， 6 4 3 2 的符号如图所示： ∴原不等式的解集是{x|2≤x＜3或4＜x≤6} 错解：将原不等式去分母得，x≥x2-7x+12，x2-8x+12≤0， 解得：2≤x≤6 点评：错解中实际上是添加了一个条件x2-7x+12＞0，从而丢失了部分解。 金钥匙——解题方法技巧： 例1：解不等式(1+x)(1-|x|)＞0 解法1：原不等式等价于下面不等式组 解题规律： 解含绝对值的不等式，首先应考虑去绝对值，而讨论去绝对值是一种最常用、最基本的方法，注意最后解集应合并。 或 0≤x＜1，或x＜0且x≠-1 ∴原不等式的解为{x| x＜1且x≠-1} 解题规律： 利用|x|2=x2来去绝对值也是一种解绝对值不等式的有效方法，如x2-2|x|-3＞0：亦可将其转化为|x|2-2|x|-3＞0来解，这里的退是为了进。 解法2：原不等式等价于 (1+x)(1-|x|)(1+|x|)＞0 (1+x)(1-x) 2＞0 (x+1)2(x-1)＜0 ∴原不等式的解为{x| x＜1且x≠-1} 例2：解不等式＞ 分析：不等式左右两边互为倒数，辅以换元法求解。 解答：令t=原不等式可化为：t＞ 解题规律： 一般地，分式不等式可转化为整式不等式来解，式子较为复杂的可考虑变量代换，但不管怎样转化都应该是同解变形。 即＞0，(t+1)(t-1)＞0，∴t＞1或-1＜t＜0 ∴原不等式同解于＞1……① 或-1＜＜0……② 由①知＞0，即(x+1)(x+4)(x-6)＞0，∴-4＜x＜-1 由②知 ∴，∴2-＜x＜1或2＜x＜2+ 故原不等式的解集为(-4，-1)∪(2-，1)∪(2，2+)∪(6，+∞) 例3：设关于x的不等式＞ (k∈R，k≠0)， （1）若此不等式的解集为(3，+∞)，