大纲版高2数学下§6.1不等式性质[修改稿共11页].docVIP

PAGE  PAGE 11 ～～ 第六章 不等式 * 6.1 不等式的性质 * 魔法石——核心知识归纳： 1、等价性质： 此性质是比较两式大小的一种常用方法：作差、判断与0的大小关系 2、基本性质： ①对称性： ②传递性： ③可加性： ④可乘性： 注意：只有对称性是双剪头，其余都只能从左推出右，可乘性必须考虑C的符号，这是最易忽视的。 3、拓展性质： ①移项法则： ②加法法则： ③减法法则： ④乘法法则： ⑤除法法则： ⑥乘方法则： ⑦开方法则： 以上法则均是从左至右单向变换，在解不等式时用得较多。 找捷径——难点疑点突破： 1．必须注意同向只能相加，不能相减 例1：设f (x)=ax2+bx，且5＜f (1)＜7，-3＜f (-1)＜-1，则a、b的取值范围是。 解： ∵f (1)= a+b f (-1)= a-b ∴5＜a+b＜7………① -3＜a-b＜-1……② 由①+②得1＜a＜3……③ 由②得1＜b- a＜3……④ 由①+④得3＜b＜4 点评：为了求出b值。不能用①-②得出。只能化②为④式，再同向相加，否则是错误的。 2、同向相乘必须注意两式均大于0。 例2：已知＜sinθ+cosθ＜……①，-＜sinθ-cosθ＜-……②，求cos2θ的取值范围。 解：∵-＜sinθ-cosθ＜- ∴＜cosθ- sinθ＜……③ ∴由①×③得＜cos2θ- sin2θ＜ 即＜cos2θ＜ 点评：这里②式为非正数，不能直接与①式对应相乘，必须转化为大于0再相乘。 3．注意各性质之间的充分性和必要性。 例3：①a+b＞2，ab＞1是a＞1且b＞1成立的什么条件？ ②a+b＞2，(a-1)(b-1)＞0是a＞1且b＞1成立的什么条件？ 解：①必要条件；②充要条件 ①∵当a=3，b=时，ab=＞1且a+b＞2， 而a＞1且b＞1显然有ab＞1且a+b＞2 ②∵(a-1)(b-1)＞0，则a-1与b-1同号，又∵a+b＞2 (a-1)+ b-1＞0 ∴a＞1且b＞1，反过来显然成立。 点评：这里实际说明同向不等式相加、相乘都是单向变换，而非双向变换。 金钥匙——解题方法与技巧： 例1：判断下列命题的真假，并说明理由： 解题规律： 由于ac2＞bc2 中没有等号，故c2≠0，若有等号，则c2=0是有可能的，若是≥，则c2＞0 （1） （2） （3） 对于字母a、b小于0的不等式问题，一般都转化为大于0来分析，这里抓住了ab＞0，问题???可以作如下转化： a＜b＜0化为-a＞-b＞0。 （4） （5）若ab0，则 和 均成立。 解析：①、②、⑤正确。 ① ∵a＞b a+(-c)＞b+(-c) a-c＞b-c ② ⑤ 在利用不等式的性质判断不等式的真伪时，关键在搞清楚不等式性质的条件与所研究问题条件的一致性，而否定一个结论只需举一个反例即可。 ③、④错误。 ③ ∵若c0时 acbc ④ ＞ 若ab0, 则 若ab0，则·ab＜·ab b＜a 例2：比较大小： 已知：a≥1， 和 ，试比较M与N的大小。 解析：比较大小的依据就是利用不等式的等价性，作差或作商都可。 解题规律： 两数比较大小可以作差比较，(分解因式或配方)，也可以作商比较，但是作商比较时，需注意两个式子的值是大于0还是小于0，它适应于单项式。如： 但-2＞-3，对于无理差式一般地转化为无理和式，这样可以判定与0的大小关系。 ∵a≥1 ∴a-1, a, a+1 均为正数，且a-1a+1 ∴ 即 MN 点金术——思维拓展发散 例3：不等式性质与函数二次函数。 已知二次函数y=f (x)的图象过原点，且 1≤f (-1)≤2, 3≤f (1)≤4，求f (-2)的范围。 思维互动： 生：∵ f (-2) = 4a-2b，又 1≤f (-1)≤2 ∴1≤a-b≤2…① ，3≤f (1)≤4 ∴3≤a+b≤4…②，则：①+②得2≤a≤3…③由①得-2≤b-a≤-1…④， ②+④得…⑤，由③、⑤分别可得 8≤4a≤12 所得结果与前面结果不同。 师：此范围较正解范围偏大，原因是变形过程中多次运用了不等式性质,扩大了变量的取值范围。 解析：可设f (x)=ax2+bx的图象过原点，则f (-2) = +4a-2b，若能求出a、b，用f (-1)和f (1)表示则问题获得。 f (1)=a+b f (-1)=a-b ∴ 又：f (-2)= 4a-3b= f (-1) +f (1) 且 1≤f (-1)≤2, 3≤f (1