千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第72炼圆锥曲线中的面积问题讲述.doc

第九章 第72炼 圆锥曲线中的面积问题 解析几何 第72炼 圆锥曲线中的面积问题 一、基础知识： 1、面积问题的解决策略： （1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。 （2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形 2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化 3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析 4、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”） （1）椭圆：设为椭圆上一点，且，则 （2）双曲线：设为椭圆上一点，且，则 二、典型例题： 例1：设为椭圆的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形的面积最大时，的值等于___________ 思路：由椭圆中心对称的特性可知关于原点中心对称，所以与关于原点对称，面积相等。且四边形可拆成与的和，所以四边形的面积最大即面积最大，因为，所以当最大时，面积最大。即位于短轴顶点时，面积最大。由可知，所以，进而计算出的值为 答案： 例2：已知点是椭圆上的一点，且在轴上方，分别为椭圆的左右焦点，直线的斜率为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 思路：将椭圆化为标准方程为，进而可得，所以，计算的面积可以以为底，为高，所以考虑利用条件计算出的纵坐标，设，则有，所以可解得或（舍去），所以 答案：B 例3：已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则与面积之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 思路：由入手可考虑将向量坐标化，设，则，进而想到可用韦达定理。所以设与轴交于直线。联立方程，所以，所以由可得：，所以，不妨设在轴上方，如图可得：，由可知，消元后可得：，等号成立当且仅当，所以的最小值为 答案：B 例4：抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8 思路：斜率为可知直线的倾斜角为，从而可得，所以在计算面积时可利用两边与夹角，所以可得，由抛物线性质可得，所以只需求得焦半径，即只需解出点横坐标。利用几何关系可得，另一方面，由焦半径公式可得：，所以可得方程：，从而，所以 答案：C 小炼有话说：（1）本题的解法是利用题目中的几何关系求解，绕过代数运算，而突破点即为直线的倾斜角，所以当题目中出现特殊角时，可以考虑蕴含其中的几何特点，从而使得运算更为简单。 （2）本题的也可通过联立方程，使用代数方法解决，方法步骤如下： 由抛物线方程可得：，设，联立方程： ，整理可得： 或 或（舍） 例5：以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别为，已知点的坐标为，双曲线上点满足，则等于（ ） A. B. C. D. 思路：可先利用椭圆确定双曲线方程及其焦点坐标，的顶点为，即为的坐标，椭圆的焦点为，所以双曲线中，进而 观察可联想到投影，即在的投影与在的投影相等，由几何关系可得为的角平分线。由可得，即平分，从而为的内心，且内切圆半径。从而 答案：A 例6：已知点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左右焦点，且，为三角形的内心，若成立，则的值为（ ） A. B. C. D. 思路：由三角形内心的性质可得到三边的距离相等，所以的高均为，从而，即，所以只需利用确定的关系即可。 解：为三角形的内心 在双曲线上，且是焦点 即为离心率 由可得：，两边同时除以得： ，解得 即 答案：C 例7：已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点 （1）求的方程 （2）设过点的动直线与相交于两点，当面积最大时，求的方程 解：（1）设 思路：首先设，，由图像可得，考虑联立直线与椭