千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第98炼含新信息问题的求解讲述.doc

第十二章 第98炼 含新信息问题的求解 其它高考考点 第98炼 含新信息问题的求解 一、基础知识： 所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤 （1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围 （2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系 （3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 （4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。 2、理解“新信息”的技巧与方法 （1）可通过“举例子”的方式，??抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解 （2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。 （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律 （4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。 二、典型例题 例1：设是两个集合，定义集合，如果，，则等于（ ） A. B. C. D. 思路：依可知该集合为在中且不属于中的元素组成，或者可以理解为集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。 ，，所以，从而可得： 答案：B 例2：在内有定义。对于给定的正数，定义函数 取函数。若对任意的，恒有，则（ ） A．的最大值为2 B. 的最小值为2 C．的最大值为1 D. 的最小值为1 思路：由所给分式函数可知，若，则取，如果，就取，由这个规则可知，若恒成立，意味着，均有恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，即，下面求的最大值：，可知在单调递增，在单调递减，所以，从而，即的最小值为1 答案：D 例3：设集合，在上定义运算为：，其中为被4除的余数，，则满足关系式的的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 思路：本题的关键在于读懂规则，“”运算的结果其实与角标和除以4的余数相关，如果理解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如：，按照要求，除以4的余数为0，所以。掌握规律后再看所求关系式：要求得，则需要先解出，将其视为一个整体，可知，即除以4的余数为0，可推断，即，不妨设，即除以4的余数为2，则的值为，所以或者，共有两个解 答案：C 例4：定义两个平面向量的一种运算，其中为的夹角，对于这种运算，给出以下结论：① ；②；③ ；④ 若，则 你认为恒成立的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 思路：本题的新运算，即的模长乘以夹角。所以对于结论①，；对于②，，而，显然当时等式不成立；对于③，（其中表示的夹角），而，显然等式不会恒成立（也可举特殊情况如，左边为0，而右边大于等于0）；对于④，可代入坐标进行运算，为了计算简便考虑将左边平方，从而 ，可与 找到联系：，即。综上所述，①④正确 答案：B 例5：如果函数对任意两个不等实数，均有，在称函数为区间上的“G”函数，给出下列命题： ① 函数是上的“G”函数 ② 函数是上的“G”函数 ③ 函数是上的“G”函数 ④ 若函数是上的“G”函数，则 其中正确命题的个数是（ ） A. B. C. D. 思路：本题看似所给不等式复杂，但稍作变形可得：，所以即与同号，反映出是上的增函数，从而从单调性的角度判断四个命题：①：恒成立，所以是上的增函数 ②③：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知②正确，③不正确 ④：若是“G函数”，则是上的增函数，所以即恒成立，因为，所以可得：，④正确 综上所述：①②④正确，共有三个命题 答案：C 例6：对于各数互不相等的正数数组，其中，如果在时，有，则称“与”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”，例如：数组中有顺序“”，“”，其“顺序数”等于2，若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是4，则的“顺序数”是（ ） A. B.