千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第13炼利用函数解决实际问题讲述.doc

第二章 第13炼 利用数学模型解决实际问题 函数及其性质  PAGE \* MERGEFORMAT - 118 - 第13炼 利用数学模型解决实际问题 一、基础知识： 1、使用函数模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值 （2）需用到的数学工具与知识点： ① 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。 ② 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值 ③ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值。 ④ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解 （3）常见的数量关系： ① 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如： 平行四边形面积底高 梯形面积（上底下底）高 三角形面积底高 ② 商业问题： 总价单价数量 利润营业额成本货物单价数量成本 ③ 利息问题： 利息本金利率 本息总和本金利息本金利率本金 （4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数。涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数。 2、使用线性规划模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处 ① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。 （3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决 （4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题 （1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点： ① 正弦定理：设三边所对的角分别为，则有 ② 余弦定理（以和对角为例）， ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数的值域 （3）解题技巧与注意事项： ① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中 ② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围 二、典型例题： 例1：如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在 的延长线上，在的延长线上，且对角线过 点。已知米，米。 （1）设（单位：米），要使花坛的面积大于32平方米，求的取值范围； （2）若（单位：米），则当的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积。 （1）思路：根据相似三角形可得线段比例：，从而解出，则，从而可得，解出的范围即可 解： 依题意可得： 解得： （2）思路：求面积的最大值，即求表达式的最大值，分离常数求解即可 解：设 设，则 则，根据对勾函数可得：时，达到最大值，即 此时，所以 答：当时，四边形的面积最大，为 例2：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格:（单位：元/套）满足的关系式，其中为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 解：（1）将代入关系式可得： （2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为元，所以总的利润，其中，利用导数判定的单调性，进而可求得最大值点 解：依题意所获利润 化简可得： 令，即解不等式 解得 在单调递增，在单调递减 在取得最大值，即 例3：某人销售某种商品，发现每日的销售量（单位：kg）与销售价格 （单位：元/kg）满足关系式，其中 为常