千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第31炼解三角形的要素Word版含解析讲述.doc

PAGE  PAGE - 15 - 第31炼 解三角形中的要素 一、基础知识： 1、正弦定理：，其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1） （2）（恒等式） （3） 2、余弦定理： 变式：（1） ① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角 当时，，即为锐角； 当（勾股定理）时，，即为直角； 当时，，即为钝角 ② 观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出 （2） 此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可 3、三角形面积公式： （1） （为三角形的底，为对应的高） （2） （3） （为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径） （4）海伦公式： （5）向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意） 证明： ，而 坐标表示：，则 4、三角形内角和（两角可表示另一角）。 5、确定三角形要素的条件： （1）唯一确定的三角形： ① 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角 ② 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 ③ 两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边 （2）不唯一确定的三角形 ① 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例： ② 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1） 6、解三角形的常用方法： （1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解 （2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 7、三角形的中??定理与角平分线定理 （1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一） 证明：在中 ① ② 为中点 ①②可得： （2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则 证明：过作∥交于 为的角平分线 为等腰三角形 而由可得： 二、典型例题： 例1：（1）的内角所对的边分别为，若，则_____ （2））的内角所对的边分别为，若，则_____ 思路：（1）由已知求可联想到使用正弦定理： 代入可解得：。由可得：，所以 答案： （2）由已知求可联想到使用正弦定理： 代入可解得：，则或，由可得：，所以和均满足条件 答案：或 小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。 例2：在中，，若的面积等于，则边长为_________ 思路：通过条件可想到利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出 即可 解： 答案： 例3：（2012课标全国）已知分别为三个内角的对边，且有 （1）求 （2）若，且的面积为，求 （1）思路：从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出 解： 即 或（舍） （2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可 解： 可解得 小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角 例4：如图，在中，是边上的点，且，则的值为___________ 思路：求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有 和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出 解：由可设则 在中， 在中，由正弦定理可得： 小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。 （2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的），这样可以将比例转化为边的具