千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第3炼利用数轴解决集合运算问题讲述.doc

第3炼 利用数轴解决集合运算问题 数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。 一、基础知识： 1、集合运算在数轴中的体现： 在数轴上表示为表示区域的公共部分 在数轴上表示为表示区域的 在数轴上表示为中除去剩下的部分要注意边界值能否取到例1：（2009 安徽）集合，则=_______ 思路先解出的解集，作出数轴则即为它们的公共部分 答案： 例2：设集合，则的取值范围是____ 思路：可解出 ，而集合含有参数作出数轴先从容易作图的集合做起即画出的范围由于包含那说明集合负责补空缺的部分由于参数决定其端点位置所以画出图像有图像观察可得只需要 即可解得 答案： 小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点或则端点处既不在里也不在里不符题意，满足恒成立的所有实数构成集合，使不等式的解集是空集的所有实数构成集合，则______ 思路：先利用已知条件求出，再利用数轴画出的范围即可 解：由 ① 恒成立，可得： 当即时，①变为：恒成立 当时，若要①恒成立，则 解集为空等价于： 设 即 小炼有话说：本题更多考察的地方在于集合的求解。集合要注意的情况，而不能默认为二次不等式，集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。 例4：已知集合，若，则实数的取值范围为 思路：先解出的解集，意味着有公共部分，利用数轴可标注集合两端点的位置，进而求出的范围 解： 当时， 当时，恒成立 当时， 且 例5：已知，当“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是__________ 思路：为两个不等式的解集，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出的范围即可 解： 由是的真子集可得： 答案： 小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：是的充分不必要条件对应集合是对应集合的真子集 2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理，则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。 例6：已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________ 思路：任取，则取到值域中的每一个元素，依题意，存在使得，意味着值域中的每一个元素都在的值域中，即的值域为的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出的范围 解：时， 时， 对于，分三种情况讨论 当时， 当时，，符合题意 当时， 综上所述： 答案： 例7：已知集合，若则思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合的范围从而确定出的值如图所示可得所以 例8：设， ，求 思路集合的不等式解集为 集合为一元二次不等式的解集由题意可知设的两根为 则 分析后两个条件说明将集合覆盖数轴的漏洞堵上了说明与的公共部分仅有左侧没有公共部分从而的位置只能如此如图可得，由韦达定理可得 例9：在上定义运算的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ） A． ． ． D．变为传统不等式，不等式含有参数考虑根据条件对进行分类讨论，因为所以首先解集要分空集与非空两种情况时，则；当时，根据的取值分类讨论的范围即可 设解集为 当时，则 当时： 若时， 若时， 综上所述： 答案：D 例10：已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：所解不等式为，可以考虑两边平方后去掉绝对值，因式分解可得：，由题意中含3个整数解可得：解集应该为封闭区间，所以的系数均大于零，即，另一方面，解集区间内有3个整数，从端点作为突破口分析，两个端点为，因为，所以，进而结合数轴分析可得三个整数解为，所以另一个端点的取值范围为①，而②，所以只要①②有交集，则可找到符合条件的，结合数轴可得：，求出 答案： 三近年模拟题题目精选，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、（2014吉林九校二模，1）已知 ，则 （ ） A. B