第五章+约束优化计算方法综述.ppt

第五章 约束优化计算方法;5.1 引言; 上一章讨论的都是无约束条件下非线性函数的寻优方法，但在实际工程中大部分问题的变量取值都有一定的限制，也就是属于有约束条件的寻优问题。 与无约束问题不同，约束问题目标函数的最小值是满足约束条件下的最小值，即是由约束条件所限定的可行域内的最小值。只要由约束条件所决定的可行域必是一个凸集，目标函数是凸函数，其约束最优解就是全域最优解。否则，将由于所选择的初始点的不同，而探索到不同的局部最优解上。在这种情况下，探索结果经常与初始点的选择有关。为了能得到全局最优解，在探索过程中最好能改变初始点，有时甚至要改换几次。;（1）直接法 ??? 直接法包括：网格法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。 ??（2）间接法 ??? 间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法等。 ; 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来 解的一种方法。; x(k+1)＝ x(k)+α(k) S(k) (k=0,1,2,…) 逐步趋向最优解，直到满足终止准则才停止迭代。; 直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行有哪些信誉好的足球投注网站方向 S且以适当的步长 ，进行有哪些信誉好的足球投注网站，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述有哪些信誉好的足球投注网站过程，直至满足收敛条件。 ;直接解法的原理简单，方法实用，其特点是：;a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集;间接解法的求解思路：;5.2 随机方向法;随机方向法的基本思路：;随机方向探索法的一般迭代计算公式为： X(k+1)=X(k)+aS(k) (k=0,1,2,…) 式中a为步长，S(k) 为第k次迭代的随机探索方向。 因此，随机方向探索法的计算过程可归结为： ; 复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种重要的直接方法。它来源于用于求解无约束非线性最优化问题的单纯形法，实际上是单纯形法在约束问题中的发展。 如前所述，在求解无约束问题的单纯形法中，不需计算目标函数的梯度，而是靠选取单纯形的顶点井比较各顶点处目标函数值的大小，来寻找下一步的探索方向的。在用于求解约束问题的复合形法中，复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值的下降，还应当满足所有的约束条件。;;二.初始复合形的构成;2. 初始复合形顶点的确定;初始复合形生成的方法：;3）由计算机自动生成初始复合形的所有顶点。;2）计算除去最坏点XH 外的（k-1）个顶点的中心XC ;4）判别反射点XR的位置;3.收缩;三. 终止判别条件;比较复合形各顶点的函数值，找出好点XL，坏点XH;方法特点 （1）复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种直接方法，仅通过选取各顶点并比较各点处函数值的大小，就可寻找下一步的探索方向。但复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值下降的要求，还应当满足所有的约束条件。 （2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。 ;§5-5 惩罚函数法; 将有约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。前提：一是不能破坏约束问题的约束条件，二是使它归结到原约束问题的同一最优解上去。;从而有; 根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。;内点法;rk是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于0的正数列，即: ; 罚因子的作用是：由于内点法只能在可行域内迭代，而最优解很可能在可行域内靠近边界处或就在边界上，此时尽管泛函的值很大，但罚因子是不断递减的正值，经多次迭代，接近最优解时，惩罚项已是很小的正值。 ;例5-2 用内点法求;时不满足约束条件 ;1）? 初始点x0的选取 ; 式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0.1~0.7之间。;算法步骤： 1）选择可行域内初始点X(0); 2）选取初始罚因子r(0)与罚因子降低系数c，并置K←0； 3）求minφ(x(K),r(K))解出最优点xK*； 4）当K=0转步骤5），否则转步骤6）； 5）K←K+1，r