人教版高中数学1.3.1第一课时函数的单调性.ppt

类型 三 函数单调性的应用 【典型例题】 1.如果函数f(x)在［a,b］上是增函数，那么对于任意的x1， x2∈［a,b］(x1≠x2)，下列结论中不正确的是( ) A. B.(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］0 C.若x1＜x2,则f(a)f(x1)f(x2)f(b) D. 2.函数f(x)=x2－2mx－3在区间［1,2］上单调，则m的取值范围是______. 3.已知f(x)是定义在区间［－1,1］上的增函数，且 f(x－2)f(1－x)，求x的取值范围. 【解题探究】1.根据增函数的定义考虑，若一个函数f(x)在［a,b］上是增函数，则x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号有什么关系？ 2.二次函数在某区间内单调，取决于哪个关键量？ 3.若一个函数在某区间上是增函数，且f(x1)f(x2),则x1与x2的取值有什么限制，两者之间的大小关系是什么？ 探究提示： 1.由增函数的定义知，若x1x2,则f(x1)f(x2)，故x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同. 2.二次函数的对称轴在区间内的位置影响函数的单调性. 3.由增函数的定义知，首先x1,x2应在所给定的区间上，其次两者的大小关系是x1x2. 【解析】1.选C.因为f(x)在［a,b］上是增函数，对于任意的x1，x2∈［a,b］(x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1＜x2,则f(a)≤f(x1)f(x2)≤f(b). 2.二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)=x2－2mx－3的对称轴为x=m，函数在区间［1,2］上单调，则m≤1或m≥2. 答案：m≤1或m≥2 3.由题意，得 解得1≤x 故满足条件的x的取 值范围是1≤x 【拓展提升】函数单调性应用的关注点 (1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围. (2)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组). (3)若一个函数在区间［a,b］上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的. 【变式训练】已知函数y=ax和y= 在区间(0,+∞)上都是减 函数，则函数y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？ 【解析】函数y=ax和y= 在区间(0,+∞)上都是减函数，则 a0且b0，于是y=ax2+bx的对称轴x= 0且开口向下，所 以y=ax2+bx在区间(0,+∞)上是减函数. 复合函数的单调性 1.已知函数y=f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(x)0(x0)， 则F(x)= 在(0,+∞)上为______(填“增函数”或 “减函数”). 2.已知函数f(x)与g(x)是R上的增函数，求证：f(g(x))在R上 是增函数. * 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 一、增函数与减函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值x1，x2. (1)增函数：当x1x2时，都有___________，则函数f(x)在区 间D上是增函数. (2)减函数：当x1x2时，都有___________，则函数f(x)在区 间D上是减函数. f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) 思考：在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1,x2∈D”改为“存在x1,x2∈D”？ 提示：不能.如函数y=x2，虽然f(2)f(－1)，但函数y=x2在定义域上不是增函数. 二、函数的单调性及单调区间 增函数或减函数 （严格的）单调性 单调区间 判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.( ) (2)对于函数f(x)=|x|，由于f(2)f(－1)，故该函数在定义域内是增函数.( ) (3)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)f(3).( ) 提示：(1)错误，如函数y= 在定义域上不是单调函数. (2)错误，函数f(x)=|x|在(－∞,0］上是减函数，在(0，+∞) 上是增函数. (3)正确，由于函数f(x)为R上的减函数，-3 3，故 f(－3)f(3). 答案：(1)× (2)× (3)√ 【知识点拨】 1.增函数、减函数定义的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的