任意角3角函数定义.ppt

提问： 有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线或与有向直线平行，根据有向线段AB与有向直线方向相同和相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量。 定义： 设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线. P O x y M 思考6：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα1吗？ P O x y M MP＋OMOP=1 知识探究（二）：正切线 A T 思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ P O x y M A T 思考2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ P O x y M A T P O x y M 思考3：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ 思考4：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ P O x y M A T 思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？ 过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα. A T O x y P A T O x y P 思考6：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含义如何？ O x y P P 当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在. 应用举例 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线： （1） ； （2） ； 例2 在0～ 内，求使 成立的α的取值范围. O x y P M P1 P2 小结说明 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具. 2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）. 3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想. 探索题：对于不等式 （其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？ P O x y M A T * 回忆：初中时学过的锐角三角函数的定义 A C B 在RT△ABC中， 思考：任意角的三角函数如何定义呢？ 探究：在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其终边上的点的坐标表示吗？ O x y M 记 = = = 思考：当点P在终边上的位置改变时，上述三个值会随之改变吗？ 任意角三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： （1）y叫做α的正弦（sine），记作sinα，即sinα＝y （2）x叫做α的余弦（cosine），记作cosα，即cosα＝x （3） 叫做α的正切（tangent），记作tanα，即tanα＝ （x≠0） O x y P(x，y) 统称为三角函数 【例1】：如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ，求角α的正弦、余弦和正切值。 解：根据任意角的三角函数定义： O x y 点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。 O x y P（x，y） M 点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。 分析：解RtΔOMP可得点 ，故 【例2】：求角 的正弦、余弦和正切值。 【练习】 1、已知角β的终边过点 ，求角β的三个三角函数值。 2、求角 的三个三角函数值。 3、求角 的三个三角函数值。 思考：已知角α的终边经过点 ，求角α的正弦、余弦和正切值。 O x y 分析： ∽ 已知角　的终边经过　　　　，求　的3个三角函数值． 求　的3个三角函数值呢？ 若将　　　　改为　　　　　　　　， 如何 分　　　，　　　两种情形讨论． （1）角　的终边在直线　　　上，求　的3个三角 函数值． ※（4）说明　　　　　　　　的理由　　　． 1、任意角三角函数的定义： 若已知角α终边与单位圆交于点P(x，y)，则： 2、解题方法总结 （1）已知交点P的坐标，直接用定义 （2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义 弧度 度 探究： 定义域