内积、外积、混及积.pptVIP

分析: 所以，D-ABC的体积 可用混合积求出。 例: 求以 ， 为顶点的四面体的体积。 ， ， 以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积是以三角形ABC为底面，AD为棱的三棱柱体积的2倍，而四面体的体积是三棱柱体积的三分之一。 32 所以 解： 构造向量 以AB，AC，AD为棱的平行六面体的体积为 33 三向量的双重外积 定义： 性质： 34 例： 证明一： 由定义 证明二： 35 例： 证明： 36 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 一 相关概念： 1 排列 2 奇（偶）排列 3 行列式定义 4 转置 5 代数余子式 * 向量的内积、外积、混和积 1 向量的内积 向量是一个具有很强的物理背景的概念，尤其在流体力学、电磁场理论等中有很多的应用，要利用向量及其运算来反映诸多物理现象中量的关系，仅仅只有向量的线性运算就远远不够了，还要不断充实向量的运算。这一节先引入向量的一种乘法。 2 例: 物体放在光滑水平面上，设力F以与水平线成θ角的方向作用于物体上，物体产生位移S，求力F所作的功。 于是功W为: W=|F|cosθ|S|=|F||S|cosθ 为反映这一类物理现象，引入向量的内积。 F S 解: 根据物理知识，F 可以分解成水平方向分力 和垂直方向分力 。其中只有与位移平行的分力 作功，而 不作功。 3 根据内积的定义，上例中的功可写作： 内积及其运算规律 定义 两个向量α与β的内积是一个数，它等于这两个向量的长度与它们夹角θ=(α，β)余弦的乘积，记为 ， 即有 4 (1) 向量的内积又称为点积或数量积 (3) (2) (4) (5) 注： 向量内积不满足结合律 具有以下性质： 5 例： 用向量证明余弦定理 A C B 证明： 6 例： 证明：直径所对应的圆周角为直角. A B C O 证明： 因此 所以 7 例： 证明： 8 内积的坐标表示 对任意向量 (1) 证： 9 (2) (3) 10 向量的外积 上一节讨论了向量的一种乘法：两个向量的内积，其运算结果是一个数。为了反映另一物理现象，本节引入了两个向量的另一种乘法，叫做外积，它的运算结果是一个向量。 11 定义 两个向量α与β的外积α×β是一个向量 1 . 外积及其运算规律 α×β的方向与α，β均垂直，且使α，β，α×β成右手系 (2) (1) α×β的模是以α，β为边的平行四边形的面积， 满足 注 ： 即： 12 外积又叫叉积或向量积，具有以下性质： （反交换律） 13 2. 外积的应用 (1) 用向量积来求平行四边形及三角形面积 (2) 用向量积来求点到直线的距离 (3) 用向量积来求证两个向量共线 14 例: 已知α，β不共线，当k取何值时，向量kα+9β与4α+kβ共线。 解： 又 α×α＝β×β＝０，α×β＝－β×α 因为α，β不平行， 故有　 ， 据题设 （kα+9β）×（4α+kβ）＝０ kα×4α＋kα×kβ＋9β×4α+9β×kβ＝０ 即 因而 所以 α×β≠０ 即 k=±6． 15 例： 证明： 所以， 16 例： 解： 且 17 外积的坐标表示 由定义直接可以得到: 18 因此: （自己算） 19 例： 解法一： 解法二： 20 解： 构造向量