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信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 凸优化理论与应用 第二章 凸函数 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 凸函数的定义 1.定义域 为凸集； 2. ，有 凸函数的定义：函数 ，满足 凸函数的扩展定义：若 为凸函数，则可定义其扩展函数 为 凸函数的扩展函数也是凸函数！ 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 凸函数的一阶微分条件 若函数 的定义域 为开集，且函数 一阶可微，则函数 为凸函数当且仅当 为凸集，且对 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 凸函数的二阶微分条件 若函数 的定义域 为开集，且函数 二阶可微，则函数 为凸函数当且仅当 为凸集，且对 ，其Hessian矩阵 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 凸函数的例 幂函数 负对数函数 负熵函数 范数函数 指数函数 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 凸函数的例 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 下水平集(sublevel set) 定理：凸函数的任一下水平集均为凸集。 任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数。 称为 的 下水平集。 定义：集合 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 函数上半图(epigraph) 定理：函数 为凸函数当且仅当 的上半图为凸集。 称为函数 的上半图。 定义：集合 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * Jensen不等式 为凸函数，则有： Jensen不等式的另外形式： 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 保持函数凸性的算子 凸函数的逐点最大值 凸函数与仿射变换的复合 凸函数的非负加权和 对固定 ， 为凸函数。 逐点最大值函数变换的例 向量中 个最大分量之和： 对称矩阵的最大特征值 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 保持函数凸性的算子 复合运算 凸函数的透视算子 最小值算子 为凸函数。 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 共轭函数(conjugate function) 定义：设函数 ，其共轭函数 ，定义为 共轭函数的例 共轭函数具有凸性！ 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 共轭函数的性质 Fenchel’s inequality 性质：若 为凸函数，且 的上半图是闭集，则有 性质：设 为凸函数，且可微，对于 ，若 则 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 准凸函数(quasiconvex function) 准凸函数的例 定义：设函数 ，若函数的定义域和任意下水平集 为凸集，则称函数 为准凸函数。 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 准凸函数的判定定理 定理：函数 为准凸函数，当且仅当 为凸集，且对 ，有 准凸函数的判定定理 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn * 定理：若函数 一阶可微，则 为准凸函数，当且仅当 为凸集，且对 ，有 准凸函数的判定定理 信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn *