函数单调性syf.pptVIP

教学目标 知识与技能目标 方法与过程目标 情感态度与价值观目标 知识与技能目标 ⑴理解函数的单调性 ⑵会根据函数图像判断函数的单调性 ⑶会根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数 方法与过程目标 使学生掌握判断某些函数增减性的方法 培养学生利用数学概念进行判断推理的能力 培养学生数形结合，辩证思维的能力 情感态度与价值观目标 启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯 养成学生独立思考的能力 养成良好的学习习惯 教学重难点 重点：函数单调性的概念 难点：函数单调性的判断证明 用定义判断证明函数的单调性的步骤 * * C0 t 0 -2 4 14 24 9 问题引入 1．该天气温如何变化？ 2．如何用数学语言表述这一天中气温变化规律? 回答 1．在0点到4点，气温下降；4点到14点，气温上升； 14点到24点，气温下降 2．当t∈（0，4），函数图像是下降的；当t∈（4，14），函数图像是上升的； 当 t∈（14，24），函数图像是下降的。 设函数为f(t),对任意的 ∈（0，4），当 有 ，我们就说函数f(t)在（0，4)上是减函数； 对任意的 ∈（4，14），当 ,有 ，我们就说函数f(t)在（4，14)上是增函数 同样的，函数f(t)在（14，24)上是减函数。 函数的单调性也叫函数的增减性，函数的递增区间和递减区间统称为函数的单调区间。(这里的单调性是指严格单调递增或单调递减，不包括既不增又不减的常数函数的单调性。) 函数的单调性的定义 注意： 1.函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的，有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的。 2.函数单调性定义中的 的三个特征，一是“任意 ”，证明单调性时不可随意一两个特殊值替换；二是有大小的，我们通常规定 ；三是同属一个单调区间。 3.若要证明f(x)在(a,b)上是单调递增的，就必须证明对于区间(a,b)上的任意两点 ，当 ，都有 ;若要证明f(x)在(a,b)上不是单调递增的，只需要举出反例就足够了，即只要找到两个特殊的 ,若 ,有 即可。 4.书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，可以用“和”、“与”、“、”等形式，但不能写成“A∪B”的形式。 5.函数单调性的几何意义:函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的. 例1：如下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。 答：函数y=f(x)的单调区间有：[-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5], 其中 y=f(x)在区间[-5, -2), [1,3)上是减函数， 在区间[-2,1), [3, 5]上是增函数。 注意：函数在某一点上不具有单调性 练习 解：增区间[-1, 0), [1,2）减区间[-2, -1)（0,1) 例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 =3( x1- x2) 由x1x2 ，得 x1- x2 0 于是 f(x1)-f(x2)0 所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。 即 f(x1)f(x2) 则f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2) 证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2, 取值 作差 变形 定号 判断 设x1,x2是（0，+∞）上的任意两个实数，且x1x2, f(x1)-f(x2) 由x1、x2∈（0，+∞） ，得 x2 x1 ＞0 又由x1x2 ，得 x2- x1 ＞0 于是 f(x1)-f(x2) ＞ 0， 即 f(x1) ＞ f(x2)