分形几何概述_讲座.pptVIP

图13 曼德勃罗集“峡谷地带”放大图 图16 广义曼德勃罗集 图17广义曼德勃罗集 图15对应于曼德勃罗集的朱丽亚集 图14 朱丽亚集图谱 朱丽亚集图谱 图18 高维朱丽亚集 图19 高维朱丽亚集的投影图 朱丽亚集图谱 分形项链 东方龙 分形树 分形山 分形岛 分形花 分形画 分形画 世界上第一只克隆羊——多利(Dolly) Peano曲线 康托尔三分集 康托尔(Cantor)于1872年引入了一类全不连通的紧集F，F被称为康托尔三分集。 在当时，人们认为这类集合在传统的研究中是可以忽略的。但是进一步的研究结果表明，这类集合在象三角级数的唯一性这样重要问题的研究中不仅不能忽略，而且起着非常重要的作用。 谢尔宾斯基地毯 波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。如今，几乎 任何一本讲分形的书都要提到这些例子。它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。 布朗(Brown)运动 一类极为典型的随机分形集，即布朗(Brown)运动。 珀瑞(Perrin)在1913年对布朗运动的轨迹进行了深入研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在1920年左右使年轻的维纳(Wiener)受到震动，并促使他建立了很多布朗运动的概率模型。 为了表明自然混乱的极端形式，维纳采用了“混沌”（Chaos）一词。 珀瑞曾经注意到：一方面，自然界的几何是混乱的，不能用欧氏几何或微积分中那种完美的序表现出来；另一方面，它能使人们想到1900年左右创立的数学的复杂性。 布朗(Brown)运动的意义 曼德尔布莱特(Mandelbrot)在回顾珀瑞及维纳的工作以及分形几何的发展历史时指出，分形几何以下面两种选择为其特征： 一是在自然界的混沌中选择问题，因为描述整个混沌是既无意义又无可能的主张； 二是在数学中选择工具。 这两种选择逐渐成熟并创造了新东西，在无序混沌与欧氏几何过分有序之间，产生了一个具有分形序的新领域。由于非常“复杂”的集合的引入，而且长度、面积等概念必须重新认识。 维数的提出 为了测量这些集合，更为了一般的理论，闵可夫斯基(Minkowski)于1901年引入了闵可夫斯基容度。 豪斯道夫(Hausdorff)于1919年引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数。 这些概念指出为了测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采取的尺度。 第二阶段 大致为1926年到1975年,在这半个世纪里,人们实际上对分形集的性质做了深入的研究,特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。 ? 贝西康维奇(Besicovitch)及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质、以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。 ? 他们的研究结果极大地丰富了分形几何理论。 维数理论 在此期间，维数理论得到了进一步发展并日臻成熟。 Bouligand于1928年引入了Bouligand维数， Poutrjagin与Schnirelman于1932年引入覆盖维数， 柯尔莫哥诺夫(Kolmogorov)与Tikomirov于1959年引入熵维数。 另外，刻划集合“大小”的容量及容量维数亦引入到分析之中。由于维数可以从不同的角度来刻划集合的复杂性，从而起了重要的作用。 维数 众所周知，点是零维的，直线是一维的,平面是二维的。当我们测量几何图形的长度和面积时，分别用单位长线段与单位面积的正方形来度量，因为线段与正方形的欧氏维数分别是1和2 。若用线段来测量正方形，其结果为无穷，说明所用的尺度太“细”；反之，若用正方形为尺度来度量线段，所得的结果为0，说明所用的尺度太“粗”。在测量集合时，其测量结果与所采用的尺度有关。特别是，经典几何对象的测量只容许整数维的尺度。 分维数 人们用分维数来刻划分形集的复杂性。 对于分形曲线，比如冯.科赫曲线，1维尺度太细，即在1维尺度下，它的长度为无限；而2维尺度太粗，而在2维尺度下 ，它的面积为0。 可将冯.科赫曲线看成是一个介于1维与2维之间的几何对象，用非整数维的尺度来测量它能定量地表现冯.科赫曲线的复杂程度。 分维数的多种定义 分数维可用于定量描述分形集的复杂性。 分维数已有多种定义。 豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础； 盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。 其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量维数、对数维数和信息维数等。 列维(Levy)及法国学派的工作 列维(Levy) 的工作：其一，第一个系统研究自相似集；其二，建立了分数