化工计算方法_7_代数方程组数值解.pptVIP

7 代数方程组数值解法 高斯（Gauss）消去法 高斯（Gauss）消去法的回代过程 7.1.2 列主元高斯（Gauss）消去法 7.1.3 追赶法解三对角线方程组 三对角型方程组的系数矩阵 追赶法消元过程 例7-1 分别用Gauss消去和列主元Gauss消去求解方程组 7.2 迭代法解线性方程组7.2.1 雅可比迭代法 雅可比迭代格式 是否所有迭代格式都可以求得方程组的解? 7.2.2 高斯－塞德尔迭代法 迭代的收敛判据 如果满足 雅可比迭代格式收敛条件-2 7.2.2 解代数方程组的超松弛 (SOR)法 超松弛与欠松弛 例题求解结果 7.3 非线性方程组数值解 雅可比迭代格式 威格斯坦（Wegstein）法 例题7-4 分别用雅可比迭代和塞德尔迭代解非线性方程组 解 由原方程组构造迭代方程组 例题7-5 用威格斯坦法解方程组 本例计算结果为 x= 1.0000 7.9999 4.0000(精确解 ) * * 7.1 直接法解线性方程组 7.1.1 高斯（Gauss）消去法 代数方程组 线性 非线性 线性代数方程组求解方法 直接法：通过有限步运算，减少或消去未知量个数，求得方程精确解的方法 迭代法：反复运用迭代格式，逐步逼近方程精确解的方法 方法及步骤 第1行各项除以a11后得 将以上方程分别乘(-ai1)后加到第i行(i=2，3，…，n)，得 变元x2…xn的N-1阶方程组 将以上方程分别乘(-ai2)后加到第i行(i=3，…，n)，得 重复以上过程，n步后，得到以下形式方程组 上三角形方程组，将方程组加工成三角形的过程称为消元过程 第2行各项除以a22后得 N-2阶方程组 高斯(Gauss)消去法 逆序回代可求得所有未知数 直接得到xn的值 计算可得xn-1的值 继续计算可得xn-2， xn-3 ，…x1的值 消元过程：通过减少变元个数将方程加工为上三角形方程组 回代过程：逆序回代求得未知数的解 设第l 个方程系数alk 最大 处理方法：每次消元前，检查所要加工的方程组中变元 xk 的各个系数akk，ak+1，…，ank，挑选出绝对值最大者作为第k步主元素。 将第 l 个方程与第k个方程互换位置，也就是将第 l 行与第k行的全部元素互换，使alk 成为新的主元素akk，然后再进行消元。 消元过程要用元素 akk中作除数，如果akk的绝对值很小或者等于0，计算过程中精度会严重损失甚至溢出中断计算。预防办法是事先对方程进行处理 系数矩阵是三对角矩阵——只有主对角线和相邻的两条对角线上有非零元素，其余元素为零。 追赶法是高斯消去法用于解三对角矩阵的简化形式，这种方法比较简单，计算量小，节省存贮量。 追赶法的步骤： 1、消元：将对角线元素化为1，并将下对角元素消去 2、进行回代计算 消元后形式为 回代过程 特点：计算量很小，所需存贮量小，三对角线以外的零元素不占存贮空间，程序编写容易。 解 MATLAB中，求解线性方程组最方便的是直接使用左除符号 ‘/’，只须写为“X=A\b”，即可求解。 本例为说明高斯消去和列主元高斯消去的求解过程，仍按算法步骤编程计算。 参考程序见教材p.83. 高斯消去和列主元高斯消去的计算结果 x = 9 -1 -6 代入一组近似值 例：用雅可比迭代解方程组 首先从上式分离出x1、x2、x3 写成一般形式 本例取迭代初值 X(1)=1.099998 X(2)=1.199998 X(3)=1.299997 经过12次迭代，得 用以上格式计算，可产生一系列近似解序列，当两次迭代结果偏差小于给定精度时，计算终止。 迭代法解代数方程组的基本思想：将联立方程组的求解，归结为重复计算一组彼此独立的表达式（使问题简化） 迭代格式的一般形式 以此迭代格式，仍取初值 迭代格式讨论 从方程2,3,1分离出x1、x2、x3 迭代得 迭代结果: xi 的值越来越大，最终导致溢出发散. 如果计算结果收敛，所求xi(k+1)通常比xi(k)准确，若在迭代时将必威体育精装版算出的xi(k+1)马上用于其后的计算中，有 雅可比迭代 高斯－塞德尔迭代 高斯－塞德尔迭代格式 绝对收敛判据 相对收敛判据 迭代格式收敛条件-1 收敛精度 收敛精度 线性方程组 雅可比迭代格式 高斯－塞德尔迭代格式 迭代格式收敛 例：对以下方程的两种迭代格式 （各行同列系数相加之和中最大者小于1） 则以上迭代格式对任意给定的初值均收敛 迭代格式发散 方程组形式为 如果系数矩