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《线性代数》总复习 林小苹 汕头大学数学系 2012.12 《线性代数》总复习 * 汕大数学系 林小苹 第一部分 行列式 第二部分 矩阵 第三部分 向量组的线性相关性 与线性方程组的解 第四部分 方阵的特征值与特征向量 第五部分 二次型 线性代数总复习 行列式 概念 性质 展开式 计算 应用 D = (不同行、不同列元素乘积的代数和) 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 概念 性质 展开式 计算 应用 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 行列式互换两行(列)，行列式变号。 推论: 行列式有两行(列)相同，则此行列式为零。 性质3 行列式的某一行(列)的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。 推论: 行列式的某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号外。 性质4 行列式中有两行(列)的元素对应成比例，则此行列式为零。 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 概念 性质 展开式 计算 应用 性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是两数之和，即若 性质6 行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式值不变。 则此行列式等于两个行列式之和，即 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 概念 性质 展开式 计算 应用 第一部分 行列式 代数余子式 一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行和第j列划去, 留下来的n?1阶行列式叫做元素aij的余子式, 记作Mij, 令Aij = (?1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式. 定理3 (P.17) 按第i行展开 按第j列展开 即：D 等于第 i 行（列）元素与对应的代数余子式相乘相加。 D = ai1 +… Ai1 + ai2 Ai2 + ain Ain, i=1,2, …, n. 线性代数总复习 行列式展开式定理： 第一部分 行列式 线性代数总复习 行列式 概念 性质 展开式 计算 应用 第一部分 行列式 克拉默法则(求解齐次线性方程组的一种方法) 齐次线性方程组有非零解的充分条件 三角化法 加边法 展开法 拆项法 … 上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积 线性代数总复习 第二部分 矩阵 第二部分 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 m×n个数构成的m行n列的数表 加法：A+B=(aij+bij), A、B是同型矩阵 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + O = A, A + (?A) = O, 数乘：kA=k(aij) k(lA) = (kl)A, (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB cij = ? aikbkj. k=1 s 矩阵乘法：AB=C，其中 C是m×n矩阵. (AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (kA)B = k(AB). 线性代数总复习 第二部分 矩阵 第二部分 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 转置： A=(aij), AT=(aji) 方阵的行列式：(AT)T = A, (kA)T = kAT, (A+B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT. 设A = [aij]n?n为方阵, 元素aij的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵 为方阵A的伴随矩阵. 矩阵 线性代数总复习 第二部分 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 注意：A可逆?detA≠0 (A?1)?1 = A. (AT)?1 = (A?1)T. (kA)?1 = k?1A?1. (AB)?1 = B?1A?1. 运算性质 逆阵的求法: 定义法 用伴随矩阵 用伴随矩阵 用初等行变换(A?E) → (A-1?A) 逆阵的证法: ?A?≠0，R(A)=n, 反证法 线性代数总复习 第二部分 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 单位矩阵 对角矩阵 对称矩阵 定义：非0子式的最高阶数 求法：初