【随堂优化训练】2014年数学﹝人教a版﹞必修5配套课件：2.3.2等差数列前n项和的性质.ppt

2.3.2 等差数列前 n 项和的性质;1.等差数列的定义：;4.等差数列的前n项和公式;Sk ;题型 1;解析：方法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70. ∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110. S3＝a1＋a2＋a3＝210.;由③－②及②－①，结合④，得S3m＝210. 方法四：根据上述性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， 故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)． ∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.;方法五：∵{an}为等差数列， ∴设Sn＝an2＋bn. ∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100.;答案：C;【变式与拓展】 1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，;题型 2;∴当n＝13时，Sn有最大值169. 方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0. 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0. ∵d＝－20，a10，∴a130，a140. 故当n＝13时，Sn有最大值．; 方法四：由 d＝－2，得 Sn 的图象如图 D4(图象上一些孤立 点)， 图 D4; 求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法： ①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求 出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前 n 项 和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的 性质求最值．;【变式与拓展】;(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列．又∵a6＞0，a7＜0， ∴当n＝6时，Sn取得最大值为：;题型 3;(1)当－2n＋13≥0时，n≤6.5. 又∵n∈N*，∴n≤6. ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3＝S3＝27. (2)由(1)可知：|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10| ＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10 ＝S6－(a7＋…＋a10) ＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10＝72－20＝52.;(3)由(1)(2)可知： 当n≤6时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝12n－n2； 当n≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an) ＝S6－(Sn－S6) ＝2S6－Sn＝72－(12n－n2)＝n2－12n＋72. 综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|; 【变式与拓展】 4．等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn， 满足 S5S6＋15＝0. (1)若 S5＝5，求 S6 及 a1； (2)求 d 的取值范围．;(2)∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即2a＋9da1＋10d2＋1＝0. 故(4a1＋9d)2＝d2－8. ∴d2≥8.; 【例 4】 已知一个等差数列{an}的通项公式 an＝25－5n， 求数列{|an|}的前 n 项和 Sn. 易错分析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0，得n≤5 理解为 n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，;解：由an＝25－5n≥0，得 n≤5. ∴当 n≤5 时，; [方法·规律·小结] 求等差数列前 n 项和的最值问题有两种方法如下： (1)利用 an：当 an0，d0 时，Sn 有最大值可由 an≥0，且 an＋1≤0，求得 n 的值； 当 an0，d0 时，Sn 有最小值可由 an≤0，且 an＋1≥0，求 得 n 的值．