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《线性代数》总复习 2011.10 概念 求法 性质 相似矩阵 实对称阵的特性 特征值与特征向量 必可相似对角化 不同特征值的特征向量互相正交 特征值全是实数 k重特征值必有k个线性无关的特征向量 与对角阵合同 第四章 方阵的特征值和特征向量 矩阵等价、相似、合同、正交相似的联系与区别 ?A,B∈Mn, A与B相似 ? 存在可逆矩阵P，使P-1AP=B A与B合同 ? 存在可逆矩阵C，使CTAC=B A与B正交相似 ? 存在正交阵Q，使QTAQ=Q-1AQ=B ?A,B∈Mm×n, A与B等价 ? 存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B 共同的性质：自反性、对称性、传递性 第四章 方阵的特征值和特征向量 等价、相似、合同、正交相似的关系 A与B相似 A与B合同 A与B正交相似 方阵A与B等价 等价、相似、合同、正交相似的不变量 等价: 秩，即R(A)=R(B) 相似: 秩，即R(A)=R(B) 特征多项式，特征值 |?E–A|=|?E–B| 合同: 秩，即R(A)=R(B) 对称性，即若A对称，则B也对称 对称阵A、B对应的二次型的正(负)惯性指数 对称阵A、B对应的二次型的规范型 正交相似: 相似+合同 第四章 方阵的特征值和特征向量 实对称阵对角化的步骤 求A全部特征值根据（所有特征值的重根次数之和等于n） 对每个ki重特征值?i求方程(A- ?iE)x=0的基础解系 得出对应于特征值?i的ki个线性无关的特征向量 将对应于特征值?i的ki个线性无关的特征向量正交、单位化（总共可以得到n个两两正交的单位特征向量） 将n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，即可满足P-1AP=?(注意顺序)。 求方阵特征值和特征向量的步骤 计算|?E–A| 求|?E–A| = 0的根 求(?E–A)x = 0的基础解系 第四章 方阵的特征值和特征向量 例7 解 第四章 方阵的特征值和特征向量 得基础解系 第四章 方阵的特征值和特征向量 例8 解 若能对角化，求出可逆矩阵P，使P-1AP为对角阵。 A能否对角化？ 第四章 方阵的特征值和特征向量 解之得基础解系 第四章 方阵的特征值和特征向量 所以 可对角化. 第四章 方阵的特征值和特征向量 第五章 二次型 二次型 基本概念 标准型化 正定二次型 第五章 二次型 定义：含有n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次函数 矩阵表示：f = xTAx——A对称，称A为f的矩阵，称f 为A的二次型，且f与A一一对应。 标准形：只含平方项 规范型：ki在-1,0,1,中取值 二次型的秩：R(f) = R(A) 惯性定理 基本概念 标准型化 正定二次型 二次型 配方法 正交变化法 写出二次型矩阵A 将A相似对角化，同时得正交变换矩阵Q 令x=Qy，即得标准型 定义 ?x ? 0 ? f(x) 0 充要条件 特征值全大于0 正惯性指数等于n A与E合同 顺序主子式全大于0 有可逆阵Q, 使A = QTQ ? 第五章 二次型 解 1)写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例9 第五章 二次型 从而得特征值 2)求特征向量 3)将特征向量正交化 得正交向量组 第五章 二次型 4)将正交向量组单位化，得正交矩阵P 第五章 二次型 于是所求正交变换为 第五章 二次型 * 线性代数总复习 上页 下页 铃 结束 返回 首页 第一章 矩阵 m×n个数构成的m行n列的数表 加法：A+B=(aij+bij), A、B是同型矩阵 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + O = A, A + (?A) = O, 数乘：kA=k(aij) k(lA) = (kl)A, (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB cij = ? aikbkj. k=1 s 矩阵乘法：AB=C，其中 C是m×n矩阵. (AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (kA)B = k(AB). 第一章 矩阵 矩阵 矩阵概念 矩阵运算 伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换 转置： A=(aij), AT=(aji) 方阵的行列式：(AT)T = A, (kA)T = kAT, (A+B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT. 设A =