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PAGE  PAGE 20 §2 一些常用的抽样分布 首先介绍三种来自正态母体的重要的抽样分布：分布、分布、分布. 2.1 分布 （1） 定义：对称为(Gamma Function)； 对称为(Beta Function). 性质：  = 1 \* GB3 ①  = 2 \* GB3 ②对查表可求 ③ ④ （2）分布的定义：是来自母体的一个子样，则称服从自由度(degrees of freedom)为n的分布，记为： （3）概率密度函数及其图形： 利用数学归纳法、卷积公式可证， hold off x=[0:0.5:40]; f1=chi2pdf(x,1);f2=chi2pdf(x,4);f3=chi2pdf(x,10);f4=chi2pdf(x,20); plot(x,f1,r,x,f2,g,x,f3,b,x,f4,m) （4）分布的性质：  = 1 \* GB3 ①期望、方差：，则, ； 证明：，其中是来自母体的一个子样，故  = 2 \* GB3 ②可加性，即：若，，且与相互独立，则有. 注：???数学归纳法、卷积公式、可证，略. ③极限性质：设，则对有的标准化变量的分布函数满足：. 从而当n充分大时，，. 证明：，故可设： 其中相互独立，且，从而有 相互独立且同分布，由中心极限定理及分布的性质 = 1 \* GB3 ①知：的标准化变量分布函数满足： 证毕. 即当n充分大时，. （5）分布的上侧分位数：  = 1 \* GB3 ①随机变量的上侧分位数 定义：设X的分布密度为, 则对，存在唯一实数,使得，称实数为X的上侧分位数．  = 2 \* GB3 ②的上侧分位数 定义：设, 则，存在唯一实数，使 称实数为U的上分位数． 求法：，故：，反查标准正态分布函数表，可得值. ③分布的上侧分位数 ?定义：设，则对于，存在唯一实数,使得 称实数为的上分位数． 查表：附表3——分布的上侧分位数表（P261） 性质：当时, 证明：，由上侧分位数定义知 对于, 有 再由分布的极限性质知： 结合（1）、（2）两式有：，即 证毕. 例1.2.1 求 解：，查表知：，故 （另有近似公式：） 例1.2.2 设是来自母体的一个子样，求. 解：相互独立，且，故 ，且当时相互独立， 则. 2.2 分布 （1）定义：设，，且与相互独立，令，则称服从自由度为的分布，记为： （2）概率密度函数及其图形： hold off x=[-5:0.1:5]; f1=tpdf(x,1);f2=tpdf(x,2);f3=tpdf(x,5);f4=tpdf(x,10); f5=normpdf(x,0,1); plot(x,f1,k,x,f2,g, x,f3,b, x,f4,m, x,f5,r) （3）性质：分布的极限分布是. 证明： 证毕. 注：很大时，. （4）分布的上侧分位数 定义：设，则存在唯一实数,使 称实数为T的上分位数． 查表：附表2——t分布的上侧分位数表（P259） 性质： = 1 \* GB3 ①  = 2 \* GB3 ②当时, 2.3 分布 （1）定义：设，，且与相互独立，，则称服从自由度为的分布，为第一自由度、为第二自由度. 记为： （2）概率密度函数及其图形： hold off x=[0:0.05:6]; f1=fpdf(x,10,4);f2=fpdf(x,10,10);f3=fpdf(x,10,20);f4=fpdf(x,10, 50); plot(x,f1,r, x,f2,g, x,f3,b, x,f4,m) （3）分布的上侧分位数 定义：设，则有唯一实数,使 称实数为F的上分位数． 查表： 查附表4——F分布的上侧分位数表（P266） 性质： = 1 \* GB3 ①, 则;  = 2 \* GB3 ②; ③. 证明： = 1 \* GB3 ①, 其中：，，且与相互独立，，则由分布的定义知: .  = 2 \* GB3 ② ，其中 ，，且与相互独立，故 ，故 . ③设, 由上侧分位数定义知 ，又, 故 证毕. 注：当较接近1时，不能从附表4直接查到，故应查表求，再用此公式计算. 例1.2.3 求 解： 例1.2.4 是来自母体的一个子样，求随机区间长度的期望与方差。 解： 2.4 抽样分布定理(sa