B随机变量–概率周概容老师讲义.doc

PAGE 1 —2.PAGE 14— 二、随机变量及其概率分布 这一部分，数学一、数学三和数学四的内容完全一致． Ⅰ、考试大纲要求 ㈠ 考试内容 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 ㈡ 考试要求 概率分布的概念，常用概率分布，随机变量函数的分布． (1) 理解概率分布的概念，掌握其三种基本形式：离散型概率分布，连续型概率密度，分布函数；掌握概率分布的特点、性质，会根据概率分布计算有关事件的概率； (2) 掌握下列概率分布：0-1分布、二项分布、超几何分布和泊松分布等离散型概率分布，以及均匀分布、指数分布和正态分布等连续型概率分布，包括分布的表达式、特点、性质、数字特征和典型应用，以及与其他分布的关系； (3) 理解0-1分布、二项???布、超几何分布和泊松分布等离散型概率分布之间的关系； (4) 会根据随机自变量的分布，求其函数的分布的方法． Ⅱ 考试内容提要 ㈠ 随机变量及其概率分布 1、基本概念 (1) 随机变量 随机变量，直观上指取值带随机性的变量，数学上指基本事件（样本点）的函数．实际中遇到的随机变量有离散型和连续型两大类：可能值个数有限或可数的随机变量称做离散型的；连续型随机变量的值域是数轴上的有限或无限区间．通常用后面几个大写拉丁字母（如）表示随机变量． (2) 概率分布 随机变量X的概率分布，指它的“值域”及它取各可能值或在值域内各部分取值的“概率”二者的总称．实际中遇到的概率分布有离散型和连续型两大类，分别描绘离散型和连续型随机变量． 2、离散型随机变量的概率分布 设X是离散型随机变量，是它的一切(m个或可数个)可能值的集合．离散型随机变量X的概率分布有如下一些常用的表示方法． ； ． 其中，．对于任意实数ab , 有 ， (2.1) 其中Σ表示对于满足的一切求和． 3、连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量X的概率分布，由一非负函数——概率密度函数决定：对于任意实数，有 ． （2.2） 严格地说，只有有概率密度的随机变量才称做连续型的． 概率密度的基本性质是： ． 此外，任意连续型随机变量取任何给定值的概率等于：． 4、随机变量的分布函数 分布函数可以描绘任何随机变量的概率分布．不过，有简单的函数式的分布函数很少，因此分布函数不便用于处理具体的随机变量，多用于一般性研究． (1) 定义 随机变量的分布函数定义为．它在点处的值，是事件的概率，即在上取值的概率． (2) 性质 性质1)～3)为基本性质． 1) ，是单调不减函数； 2) 右连续：． 3) ==0， ==1． 4) 根据分布函数求事件的概率，例如 (2.3) 5) 连续型随机变量X的分布函数为 ， (2.4) 其中是的概率密度．连续型随机变量的分布函数是连续函数，对于几乎一切，有 ． (2.5) 6) 离散型随机变量X的分布函数为 ， (2.6) 其中Σ表示对于不大于的一切求和．离散型随机变量的分布函数是阶梯函数． ㈡ 常用概率分布 1、常用概率分布表 考试大纲要求掌握的离散型概率分布有：0-1分布，二项分布，超几何分布和泊松分布，考试大纲要求掌握的连续型概率分布有：均匀分布，正态分布和指数分布． 表2.1 常用离散型概率分布（） 分布名称P{X=k}可 能 值k参 数数学期望方 差0-1和1和0二项0,1,…,n，超几何0,1,…,泊松自然数 表2.2 常用连续型概率分布 分布名称概率密度值域参 数数学期望方 差均匀a，b正态指数1/ 2、常用概率分布的典型应用 (1) 0-1分布 只有“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努利试验；伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数——成功的概率，——失败的概率．例如产品抽样验收：抽到不合格品——成功，抽到合格品──失败；射击：命中──成功，脱靶──失败…… (2) 二项分布 以表示X服从参数为的二项分布． 1) 独立重复试验成功次数的分布 设X是n次伯努利试验成功的次数，则，参数是每次试验成功的概率．例如，n次独立重复射击命中的次数X服从二项分布，参数是每次射击的命中率． 2) 自有限总体的还原抽样 设总体含N个个体，其中M个具有某种特征A（如不合格品）．设X是n次还原抽样具有特征A的个体出现的次数，则布，其中（如不合格品率）． (3