知识讲解_《数系的扩充与复数》全章复习与巩固.doc

《数系的扩充与复数》全章复习与巩固 编稿：李 霞 审稿： 张林娟 【学习目标】 1. 了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程； 2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解复数相等的充要条件； 3. 了解复数的代数表示法及其几何意义； 4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则，了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 注意在不同数集中运算法则的联系和区别. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：复数的基本知识 1、虚数单位，规定它的平方等于，即. 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2、形如（）的数叫做复数，记作：（）； 当b=0时，是实数； 当b≠0时，叫做虚数； 当a=0且b≠0时，叫做纯虚数. 3、两个复数相等的充要条件：若，则. 4、复数的几何意义： 复数复平面内的点 平面向量 由此复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 5、复数的模：设（），则向量的长度叫做复数的模，记作. 即. ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小. ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。 6、共轭复数 （1）复数的共轭复数，记为； （2）. 要点二：复数的运算 设，（），则： 1、复数的加减法 （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。] (3) 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量. 设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是， 由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量 类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量 2、复数的乘除法 1）. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2）. 在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。 3）、复数运算的一些技巧： (1). 的周期性：如果n∈N，则有： ，，，（） （2）复数求解计算时，要灵活利用i、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、ω的计算问题． 比如；；； 设ω＝，则，，，，，(n∈N+)等； （3）作复数除法运算时，有如下技巧：．