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习题11数学物理方程和定解条件
201．一长为 l ，横截面积为S 的均匀弹性杆，已知一端（ x = 0 ）固定，另一端在杆轴方向
上受拉力F 而平衡。在t = 0 时撤去外力F 。试推导杆的纵振动所满足的方程，边界条件和
初始条件。
假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况相同 uxt( , ) 表示杆上 x 处在 t 时刻相对
于平衡位置的位移。取杆上长为 dx 的一小段，用 Pxt( , ) 表示应力，由牛顿第二定律，
? 2u ?Pu? 2
??Px()()+? dxt,, Pxt S = dm ，代入 dm= ρ Sdx 得 = ρ 。由 Hooke 定
???t 2 ?x ?t 2
?u ??22uu1 E
律 PE= 可得 ?=0 ，其中 a = 。
?x ?xat222? ρ
??uu2
取右端长为 的一小段，由牛顿第二定律有
ε Ft()?= ES ρε S 2
??xtxl=?ε xl=?αε
?u
（ 01α ），令ε → 0 有 Ft()? ES = 0 。 （a）
?x xl=
? u
当t 0 时 Ft= 0 ，所以 = 0 。由于左端点固定，故有 u = 0 。
( ) x=0
? x xl=
? u
令（a）式中 t = 0 有 FES?=0 。因为平衡时应力处处相等，所以该式对于任
? x xl=
t = 0
? u F
意 x∈ 0,l 都成立，即 FES?=0 ，对 x 积分可得 ux= （注意到
[ ] t = 0
? x t = 0 E S
? u
u = 0 ）。初始时处于平衡状态，各处速度为 0，即 = 0 。
x=0
? t t = 0
? ??22uu1
? 222?=0
? ??xat
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