高等数学课后习题答案9_上海交大版.pdf

第 9 章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (,,)|;0 0} ; (1) 上半球体： z R z y ) | , {( x , 2 z yx ≥ 2 2 ≤ + 2 + ； (2) 由抛物面 y x ? z ? = 2 2 2 ，柱面 x2+y2=1 及 xOy 平面所围成的空间立体 ≤ + 2 R 2 y = x 2 y x 解答： yD x y x ? R (1) ? V = 2 ∫∫ } 2 2 ) | {( , d , ； D ≤ + y x y x = 2 yD x 1} y 2 x (2) )? | {( , ? )dV d, = ∫∫ (2 2 2 D 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) 2 y ∫∫ x 2 a ? 2 ? d σ ，其中 2 D a 为 y 2 x ≤ 2 + ； D d )d (2) y ∫∫ x + ( b ? 2 2 σ ，其中 a b 2 D a 为 y 2 x ≤ 2 + 0 , D 2 解答 3 a ：(1) 2 y = ∫∫ x 2 a ? 2 ? d σ π ； D 3 2 a a 3 b ? )d = (2) 2 y ∫∫ x + ( b ? 2 2 σ π π D 3 所属章节：第九章第一节 难度：一级 3．一带电薄板位于 xOy 平面上，占有闭区域 D，薄板上电荷分布的面密度为 μ μ = ) , ( y x ，且 μ ) , ( y x 在 D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷 Q． 解答 y x ： Q σ = ∫∫ μ )d , ( D 所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取 x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有 xOy 平面上的闭区域 D，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答 x ： g σ p = ρ ∫∫ d D 所属章节：第九章第一节 难度：一级 1 5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 y x (1) + I d = ) ( y 2 x σ 与 + I d = ) ( 3 σ ，其中 D 是由 x 轴，y 轴及直线 x+y=1 所围成的区域； 1 ∫∫ 2 ∫∫ D D y x + (2) + I = 1)d ln( y x + σ + 与 I 1)d = ln( 2 2 σ ，其中 D 是矩形区域：0≤x≤1，0≤y≤1； 1 ∫∫ 2 ∫∫ D D y x + (3) I = )d sin ( 2 y x σ 与 + I d = ) ( 2 σ ，其中 D 是任一平面有界闭区域； 1 ∫∫ 2 ∫∫ D D (4) I = d e xy σ 与 I = d e 2 xy σ ，其中 D 是矩形区域：–1≤x≤0，0≤y≤1； 1 ∫∫ 2 ∫∫ D D 解答：(1) 在区域 D 内部， y x + 1 ，所以 I1I2； 2 2 2 2 (2) 在区域 D 内部， y y x x , 1) y x ，故 + ln( 1) + ln( y x + + ，所以 I1I2；？