数列经典题目汇总.doc

14.(全国卷II) 已知是各项为不同的正数的等差数列，、、成等差数列．又，． (Ⅰ) 证明为等比数列； (Ⅱ) 如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差． (注：无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限) 解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，由 得 即，得 因 当=0时，{an}为正的常数列 就有 当=时，,就有 于是数列{}是公比为1或的等比数列 （Ⅱ）如果无穷等比数列的公比=1，则当→∞时其前项和的极限不存在。 因而=≠0，这时公比=， 这样的前项和为 则S= 由，得公差=3，首项==3 15. (全国卷III) 在等差数列中，公差的等比中项. 已知数列成等比数列，求数列的通项 解：由题意得：……………1分 即…………3分 又…………4分 又成等比数列, ∴该数列的公比为，………6分 所以………8分 又……………………………………10分 所以数列的通项为……………………………12分 16. （山东卷） 已知数列的首项前项和为，且 （I）证明数列是等比数列； （II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小. 解：由已知可得两式相减得 即从而当时所以又所以从而 故总有，又从而即数列是等比数列； （II）由（I）知 因为所以 从而= =-= 由上-= =12① 当时，①式=0所以； 当时，①式=-12所以 当时，又 所以即①从而 17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分. 假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n, 令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10. 到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85. 由题意可知an0.85 bn,有250+(n-1)·50400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6. 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 18. （天津卷） 已知. （Ⅰ）当时，求数列的前n项和； （Ⅱ）求. （18）解：（Ⅰ）当时，．这时数列的前项和 ．　　　① ①式两边同乘以，得　　　　 ②　 ①式减去②式，得　　 若， ， 若， （Ⅱ）由（Ⅰ），当时，，则． 当时， 此时，． 若，． 若，． 19. （天津卷）若公比为c的等比数列｛｝的首项＝1且满足：（＝3，4，…）。 （I）求c的值。 （II）求数列｛｝的前项和。 20. （浙江卷）已知实数a，b，c成等差数列且和为15，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，求a，b，c． 解：由题意，得 由(1)(2)两式，解得 将代入(3),整理得 解得 或 故,或 经验算，上述两组数符合题意。 21（浙江卷）设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到： x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋an x＋bn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离． (Ⅰ)求x2及C1的方程． (Ⅱ)证明{}是等差数列． 解：（I）由题意，得。 设点是上任意一点，则 令 则 由题意，得即 又在上， 解得 故方程为 (II)设点是上任意一点，则 令，则. 由题意得g，即 又 即 （*） 下面用数学归纳法证明 ①当n=1时， 等式成立。 ②假设当n=k时，等式成立，即 则当时，由（*）知 又 即当时，等式成立。 由①②知，等式对成立。 是等差数列。 22. (重庆卷)数列{an}满足a1?1且8an?1?16an?1?2an?5?0 (n31)。记(n31)。 (1) 求b1、b2、b3、b4的值； (2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn。