建模十大经典算法.doc

数学建模十大经典算法漫谈 发布时间：2011-01-29 11:36 数学建模十大算法漫谈 作者:July 二零一一年一月二十九日 本文参考：I、 细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]II、 本BLOG内 经典算法研究系列III、维基百科 ------------------------------------------ 博主说明:1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。谢谢。 一、蒙特卡罗算法1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis共同发明了，蒙特卡罗方法。 此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文： HYPERLINK /v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx \t _blank /v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx 蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导 的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方 法。 由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真 实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法 ，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作 为问题的解。 有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程 度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然 后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候 ，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。 蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模 拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的 近似解。 蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而 蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下： I、 直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。 II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。等等。 此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。 二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。 数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数 学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有 吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。 此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。 三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件 、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式 完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还 需要熟悉这两个软件。 四、图论算法这类问题算法有很多，包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-F