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经典力学和量子力学中的谐振子
经典力学和量子力学中的谐振子;1.经典力学中的谐振子;1.1简谐振子;1.2受驱谐振子;1.3阻尼谐振子;1.4受驱阻尼振子;1.5完整数学描述;1.6经典谐振子的计算;令 ，上式可变为：
其解具有下列形式：
它表示一个正弦运动，其振幅为，相位为，角频率为，相
应的频率是：
只与质点的质量m和恢复力常数k有关，而振幅和相位都与
运动初始条件有关。振子的总能量：
;动能和势能的表达式为：
由上两式可知：当 时，势能有最小值0，而此
时动能具有最大值 ；
而当 时，势能具有最大值 ，
而此时动能值最小为0。
显然总能量在运动中是不变的，即
;进一步，对于经典振子：
经典振子的速度v为：
利用 ，且已知：
其中 为振幅，平衡点为原点。当 时，由上式知，
此时经典振子的速度v有最大?? ，即经典振子在
X=0处逗留时间最短，出现的几率最小。
;2.量子力学中的谐振子;2.1一维谐振子;2.1.2阶梯算符方法
首先，我们定义算符 与其伴随算符? ：
利用可观测量算符x、p可以被表
示为阶梯算符的线性组合：
由x、p正则对易关系，并引进厄米算符 ，
证明等式：
得：
表示 态的能量本征值为：
;2.1.3自然长度与自然能量
量子谐振子拥有自然长度与自然能量两个自然尺度，可以用来简
化问题。这可以透过无量纲化来实现。如果我们以 为单位来测量
能量，以及?? 为单位来测量距离，则薛定谔方程变成：
且能量本征态与本征值变成：
;2.2三维谐振子;2.3谐振子的相干态;2.3.2相干态的性质
;3.经典谐振子与 量子谐振子的区别;3.1能级 ;
3.1.2零点能
由式
可知当 时，经典谐振子的最低动能为零；
而由式
可知，量子谐振子在基态的能量不为零。即当n=0时， ,
被称为零点能。
它与无限势阱总粒子的基态能量（ n=1,2,3……. ）
不为零是很相似的，这是一种量子效应,也是由于微观粒子具有波
粒二象性。;3.2波函数;b.当经典谐振子的能量为 时，经典回转点 ，
经典振子只能处于 的区域中。应该在 处，势
能 ，即等于总能量。在这点速度减慢
为零，不能再继续往外跑。而按照量子力学计算，粒子在
的区域，仍有不为零的几率。
;致 谢
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