2012全国高中数学联赛试题及详细解析.pdf

2012年全国高中数学联赛 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 2 1.设 P 是函数 yx?? （ x ? 0 ）的图 像上任意一点，过点 P 分别向 x 直线 yx? 和 轴作垂线，垂足分别为 AB, ，则 PA? PB 的值是_____________. 6.设 fx()是定义在 R 上的奇函数，且当 x ? 0 时， f() x? x? ．若对任意的 x??[ a , a 2]， 不等式 f( x?? a ) 2 f ( x ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是_____________. 11? 7．满 足 ??sin 的所有正整数 n 的和是_____________. 43n 8．某情报站有 A, B , C , D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从 上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使 用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示） 二、 解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 1 3 1 9．（本小题满分16分）已知函数 f( x )? a sin x ? cos2 x ? a ? ? , a ? R , a ? 0 22a （1）若对任意 xR? ，都有 fx( )? 0，求 a 的取值范围； （2）若 a ? 2 ，且存在 xR? ，使 得 fx( )? 0，求 a 的取值范围． 10．（本小题满分２０分）已知数列?an? 的各项均为非零实数，且对于任意的 正整数 n ， 都有 2 3 3 3 ()a1? a 2 ? ? ann ? a 1 ? a 2 ? ? a （1）当 n ? 3时，求所有满足条件的三项组成的数列 a1,, a 2 a 3 ; （2）是否存在满足条件的无穷数列{}an ，使得 a2013 ??2012? 若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11．（本小题 满分20分） 如图5，在平面直角坐标系 XOY 中，菱形 ABCD 的边长为 4 ，且 OB?? OD 6． （1）求证：|OA |? | OC |为定值； （2）当点A在半 圆 (xy? 2)22 ? ? 4（ 24??x ）上运动时，求 点 C 的轨迹． 三、（本题满分 50 分） 设 P0, P 1 , P 2 , , Pn 是平面上 n ?1个点，它们两两间的距离的最小值为 dd(? 0) d 求证： P P? P P ? P P ?( )n ( n ? 1)! 0 1 0 2 0 n 3 四、（本题满分 50 分） 11 设 S ?1 ? ? ? ， n 是正整数．证明：对满足 01?ab ? ? 的任意实数 ab, ，数列 n 2 n {SSnn? [ ]}中有无穷多项属于 (ab , ) ．这里，[]x 表示不超过实数 x 的最大整数． [来源:21 世纪教育网]