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广东省韶关市第一中学 刘家骅 简单问题的另类算法 有一个多边形A1A2…AN ，在每条边AiAi+1上向多边形外做一个等腰三角形AiMiAi+1使得角AiMiAi+1=αi 由αi组成的集合满足其任何非空子集的角度和不是360度的倍数 给出N(3≤N≤50) ，所有Mi的坐标和αi，写一个程序，输出多边行的顶点的坐标 例题 Geometrical dreams(Ural1046) 一般方法——简单解方程 有没有其他方法呢？ 让我们换一个角度思考问题 只要确定了一个顶点的坐标，多边形的其他顶点的坐标就能够通过简单计算得到，那么问题就转化为确定多边形的一个顶点的坐标 例题 Geometrical dreams(Ural1046) 例题 Geometrical dreams(Ural1046) 我们每次可以在当前最优位置旁边随机化确定第一个顶点的位置，然后计算此时第N+1个顶点与第1个顶点的距离 如果这个距离比当前最优距离更小，那么我们就用这个位置更新当前最优位置 显然，当第1个顶点与第N+1个顶点重合时，此时第1个顶点的位置即为其实际位置 例题 Geometrical dreams(Ural1046) 虽然这样的方法显然在任何方面都要比前面提到的普通做法要复杂 对于解决这道题目没有太大的意义 但是，它提供给我们一种崭新的思路—— 小试牛刀 从山顶到山脚的路上有n棵老树，现在政府决定砍掉它们，为了不浪费木材，每一棵树都会被转运到锯木场 树只能往一个方向运输——向下 例题：Two sawmills(CEOI2004) 在路的尽头有一个锯木场。两个额外的锯木场可以在路上任意一棵老树位置上 你必须选择在哪里建造，使得运输的费用达到最少 运输费用是一分每米每千克木材 例题：Two sawmills(CEOI2004) 这道题目的标准算法将数据转化为图象，用栈进行处理求出两个矩形的最大覆盖面积，时间复杂度为O(N)。 但是，这种算法对能力要求不小，不太容易想到。 我们看下随机化算法在这题上的表现 例题：Two sawmills(CEOI2004) 首先最容易想到的随机化当然就是直接随机寻找两个点，计算出以这两个点为锯木场时的总运费，多次随机后将总费用最小的输出 我们可以进行预处理，将计算的时间复杂度降为O(1)，那么在时限内我们可以随机几百万次甚至几千万次，但是相对于总状态的四亿来说，寻找到最优解的几率不是很大 例题：Two sawmills(CEOI2004) 我们刚才是用随机化算法直接出解，准确性不太好 为了增加准确性，那么我们尝试一下用随机化来缩小区域范围 例题：Two sawmills(CEOI2004) 我们建立一个矩阵P，P[X,Y]表示第一个锯木场建立在X，第二个锯木场建立在Y时的总运费 例题：Two sawmills(CEOI2004) 一开始时，矩阵的边长为N 例题：Two sawmills(CEOI2004) 选取值最小的点 例题：Two sawmills(CEOI2004) 然后继续在新矩阵中重复这样的操作，直至新矩阵足够小时，我们即可枚举新矩阵上的每一个点，取其中最小值作为答案。 例题：Two sawmills(CEOI2004) 我们惊喜地发现，这种随机化算法对于测试数据能够全部通过！ 例题：Two sawmills(CEOI2004) 随机化算法的灵活多变使得它的具有更为广阔的运用范围 而这样的多变性也使得我们需要灵活恰当地运用随机化算法才能发挥出它的优势 随机化算法并不只是简单地随便乱来，使用随机化算法的时候与其他算法一样值得细细斟酌，需要匠心独运 实战解析 题目大意是给出由N个点、M条边组成的图，求最大生成树 在图1所示例子中黑色边组成的树即为最优方案 例题：小H的聚会(NOI2005) 但是，为了减轻每个顶点的负担，题目设定了每个顶点的最大连接边数ki 还是用图1的例子，若我们为1至5每个点分别加上了ki = 1, 1, 4, 2, 2的限制，则上述方案就不能满足要求了。此时的最优方案如图2所示 例题：小H的聚会(NOI2005) 这是一道提交答案题，题目数据分为三种类型 第一种类型包括第1-3个数据，每个点的度限制均为N-1，等同于没有限制，直接用最小生成树算法即可解决 第二种类型包括第4-6个数据，其中N-1个点的度限制为N-1，只有一个点有度限制，可以使用最小度限制生成树算法解决。 例题：小H的聚会(NOI2005) 题目数据的第三种类型包括第7-10个数据，数据中所有点都有度限制,没有太好的准确算法 而这个题目又是不要求最优解的开放性题目 这种问题实在是随机化算法自由翱翔的广阔天空。 我们可以采取随机化算法结合不同算法解决这个题目。 例题：小