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数学建模讲义统计模型 主要内容 0 引例 1 (多元)线性回归模型 2 参数的最小二乘估计 3 线性关系的显著性检验 4 区间预测 5 参数的区间估计(假设检验) 6 matlab多元线性回归 7 matlab非线性回归 8 非线性回归化为线性回归 9 matlab逐步回归 10 综合实例：牙膏的销售量 11 综合实例：投资额与国民生产总值和物价指数 经常听到这样的说法，“如果给定解释变量值，根据模型就可以得到被解释变量的预测值为……值”。这种说法是不科学的，也是统计模型无法达到的。如果一定要给出一个具体的预测值，那么它的置信水平则为0；如果一定要回答以100%的置信水平处在什么区间中，那么这个区间是∞。 在实际应用中，我们当然也希望置信水平越高越好，置信区间越小越好。如何才能缩小置信区间？ （1）置信水平与置信区间是矛盾的。但可增大样本容量n，使临界值t减小。 （2）更主要的是提高模型的拟合优度，以减小残差平方和。设想一种极端情况，如果模型完全拟合样本观测值，残差平方和为0，则置信区间也为0。 （3）提高样本观测值的分散度。在一般情况下，样本观测值越分散，(X’X)-1越小。 6 matlab多元线性回归 7 matlab逐步回归 8 综合实例：牙膏的销售量 * * — 回归分析 例1: 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4 有关，今测得一组数据如下，试确定一个 线性模型. 线性关系是否显著？ 当x=(8,30,10,10)时，95%的可能y落在哪个区间? 是否4种化学成分都对释放的热量有显著影响？ y还受其他因素影响吗? 如x1*x2, yt-1,xt-1 0 引例 为了可以使用普通最小二乘法进行参数估计，需对模型提出若干基本假设 ： (1)随机误差项服从0均值、同方差的正态分布: (2)随机误差项在不同样本点之间是独立的,不存在序列相关: (3)随机误差项与解释变量之间不相关: 1多元线性回归 多元线性回归 称为回归平面方程. 解得 2 参数的最小二乘估计 （Ⅰ）F检验法 （Ⅱ）r检验法 (残差平方和） 3 线性关系的显著性检验 3 线性关系的显著性检验 记： 回归平方和： 残差平方和： 则线性关系不显著，反之显著。 若 =2677.9 =47.86 （1）点预测 （2）区间预测 4 预测 残差平方和： 4 预测 在未知点 的点预测为： 而y的置信水平1- 的区间预测为： 其中： (7,40,10,30) y=89.70 (89.70-18.32, 89.70+18.32) 5 参数的区间估计(假设检验) 记： 故bi的区间估计为： 则有： 若因素xi不重要，则有bi=0，即上述区间包含0。 -99.1786 223.9893 -0.1663 3.2685 -1.1589 2.1792 -1.6385 1.8423 -1.7791 1.4910 5 逐步回归 （4）“有进有出”的逐步回归分析。 （1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者； （2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子； （3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程； 选择“最优”的回归方程有以下几种方法： “最优”的回归方程就是包含所有对Y有影响的变量, 而不包含对Y影响不显著的变量回归方程。 以第四种方法，即逐步回归分析法在筛选变量方面较为理想. 这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。 “有进有出”的逐步回归分析(组合优化) 从一个自变量开始，视自变量Y作用的显著程度，从大到小地依次逐个引入回归方程。 但当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉。 引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步。 对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量。 [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 回归系数的区间估计 残差 置信区间 引例1的解 1、输入数据： x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]; X=[ones(16,1) x]; Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]; 2、回归分析及检验： [b,bint,r,rint,stats]=re