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数据结构第六章 树和二叉树 6.1 树的概念与基本术语 树的定义(Tree) 树是有n(n≥0)个结点的有限集合。 如果 n=0，称为空树； 如果 n0,称为非空树,对于非空树,有且仅有一个特定的称为根(Root)的节点(无直接前驱) 如果 n1，则除根以外的其它结点划分为 m (m0)个互不相交的有限集 T1, T2 ,…, Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。 每个结点都有唯一的直接前驱，但可能有多个后继 树的举例 其中：A是根；其余结点分成三个互不相交的子集， T1={B,E,F,K,L}； T2={C,G}； T3={D,H,I,J,M}, T1,T2,T3都是根A的子树，且本身也是一棵树 6.1 树的概念与基本术语 树的基本术语 结点：包含一个数据元素及若干指向其子树的分支 结点的度：结点拥有的子树数,或者说后继结点数 叶结点：度为0的结点[没有子树的结点] 分支结点：度不为0 　的结点[包括根结点]， 　也称为非终端结点。 内部结点:除根外的结点 孩子：结点的子树的根 双亲：孩子的直接前驱 6.1 树的概念与基本术语 兄弟：同一双亲的孩子 子孙：以某结点为根的 　树中的所有结点 祖先：从根到该结点 　所经分支上的所有结点 层次：根结点为第一层，其孩子为第二层，依此类推 深度：树中结点的最大层次 森林：互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林 6.2 二叉树 二叉树(Binary Tree) 每个结点最多有２棵子树 二叉树的子树有左右之分 6.2 二叉树 二叉树性质１：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点 证明： i=1, 只有一个根节点，因此2i-1=20=1 设第i-1层上，以上性质成立，即第i-1层至多有2(i-1)-1结点。 由二叉树的定义可知，任何结点的度小于2，因此，第i层上的结点数最多为第i-1层上的两倍，即2*2i-2=2i-1 证毕 6.2 二叉树 二叉树性质２：深度为k的二叉树至多有2k-1个结点 证明： 由性质１，已知第i层上结点数最多为2i-1 k ∑ 2i-1 = 2k-1 i=1 证毕 6.2 二叉树 二叉树性质３：如果二叉树终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 证明： 设n1是度为1的结点，则总结点数n= n0+n1+n2 设B为二叉树的分支数，除根结点外，每个结点有且只有一个分支，因此n=B+1 每个分支皆由度为1或2的结点发出，B=n1+2n2 n=B+1=(n1+2n2)+1 = n0+n1+n2，因此 n0=n2+1 证毕 6.2 二叉树 满二叉树： 一个深度为k且有2k-1个结点的二叉树 每层上的结点数都是最大数 可以自上而下、自左至右连续编号 6.2 二叉树 完全二叉树： 当且仅当每一个结点都与深度相同的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应的二叉树 叶子结点只在最大两层上出现 左子树深度与右子树深度相等或大１ 6.2 二叉树 完全二叉树(性质４)：具有n个结点的完全二叉树,其深度为 log2n +1 证明：设k为深度，由二叉树性质２，已知 　　 2k-1-1 ＜ n ≤ 2k-1 即　 2k-1 ≤ n ＜ 2k 即 k = log2n +1 6.2 二叉树 完全二叉树(性质５)： 在完全二叉树中，结点i的双亲为 i/2 结点i的左孩子LCHILD(i)=2i 结点i的右孩子RCHILD(i)=2i+1 6.2 二叉树 二叉树的存储结构 1.顺序存储结构 2.链式存储结构 顺序存储结构：用一个一维数组来存储二叉树的各个结点 C语言表示 #define MAX_TREE_SIZE 100 //二叉树的最大结点数 typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE];//0号单元存储根结点 SqBiTree bt; 显然，二叉树的结点必须按某种次序分别存入数组的各个单元，这种次序应能反映结点间的逻辑关系，否则二叉树上的各种基本运算在顺序存储结构上很难实现。 对于完全二叉树来说，可以采用“以编号为地址”的方法，将编号为i的结点存入一维数组的第i个单元(下标为i-1)。 6.2 二叉树 完全二叉树的顺序表示 例: 对应的顺序存储结构: 将编号为i的结点存入一维数组的第i个单元(下标为i-1) 6.2 二叉树 非完全二叉树的顺序表示 例: 对应的顺序存储结构: 一维数组的21单元中只用上了7个.最坏情况下,一个深度为k且只有k个结点的单支树,却需要长度为2k-1的一维数组 总结 顺序存储结构适合存储完全二叉树 对于非完全二叉树，采用链式存储结构更合适 6.2 二叉树 二叉链表 结