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曲线和曲面上的积分 曲面积分 1.曲面上的测度 曲面积分 曲面表示和曲面上的测度 第一型曲面积分(质量) 第二型曲面积分(流量) 曲面的映射观点定义 设[a,b]?Rk,?: [a,b] ?Rn (n?k+1) 若?连续,称S=?([a,b])为 Rn中的连续超曲面 若?具有一阶连续导数, 且?t?[a,b],??(t)满秩, 称S= ?([a,b])为 Rn中的k维光滑超曲面; 若?是单射, S= ?([a,b])为 Rn中的k维正则超曲面 若?连续,且存在[a,b]可以分成m个内部不相交的闭区域Wj, Lj=?(Wj)是k维光滑(正则)超曲面,称S=?([a,b])为 Rn中的k维分片光滑(正则)超曲面 曲面的集合观点定义 设S?Rn, 若存在?: [a,b] ?Rk? Rn, 有S= ?([a,b]) 若?连续, 就称S为Rn中的一个连续超曲面, 称?为S的一个表示 若?光滑且导数点点不为零, 就称S为Rn中的k维光滑超曲面, 称?为S的光滑表示 若?光滑,单射且导数点点不为零, 就称S为 Rn中的一条正则曲面, 称?为S的正则表示 同一超曲面可以有不同的表示 同一超曲面可以有不同表示： 集合观点下的正则超曲面一定有非正则的表示; 几何上正则的超曲面未必有正则表示; 几何上非正则的超曲面一定没有正则表示 在下面的讨论中, 我们总假设 ?连续, S是正则或分片正则超曲面,?是其相应的表示 因此将对超曲面的两种观点统一 超曲面的分类 设?: [a,b] ?Rn (n?2), 连续 若?是单射,称L=?([a,b])为Rn中的简单曲面 Rn中的闭超曲面：？？ Rn中的简单闭超曲面：不带边的紧流形 超曲面的方向(定向) 可定向曲面(双侧曲面) 不可定向曲面(单侧曲面) 正则超曲面面积的定义 设[a,b]?Rk, ?:[a,b] ?Rn(n?k+1), 正则,S=?([a,b]), 定义S的k维面积 为 其中上标T表示矩阵的转置 对超曲面面积公式的说明 面积公式的推导 Rn中k维平行2k面体的体积计算 用切超平面块近似超曲面面积 n-1维超曲面的面积公式 由参数方程给出的曲面体积公式 由函数图像给出的曲面体积公式 Rn中k维平行2k面体的体积 设E是由Rn中k个线性无关向量V1,V2,…,Vk所张成的平行2k面体, 由Schmidt正交化方法得到与其等体积的直角平行2k面体E0, 张成E0的k个向量是a1,a2,...,ak两组向量间的关系 平行2k面体的体积(续1) 体积公式: |E|=|E0|=|a1|?|a2|?…?|ak|也就是 也就是 平行2k面体的体积(续2) 由此就得到 其中 注意Vj都是列向量. 平行2k面体体积公式解释 Binet-Cauchy公式: 设A=(aij)n?k, B=(bij)n?k, 则 对这个公式的解释: Rn中的平行2k面体的体积的平方等于其在 Rn中所有k维坐标面中投影的平方和(一般勾股定理) 用切超平面块近似超曲面面积 设[a,b]?Rk,?: [a,b] ?Rn (n?k+1),正则, S= ?([a,b]). 下面按微元法给出超曲面的面积公式: 任取[a,b]的一个分法W: W1,…,Wm. Sj=?(Wj), j= 1, …,m. 取tj?Wj, 用 近似Sj的体积, 然后求和-取极限就得到公式. n-1维超曲面的面积公式(1) 由参数方程给出的曲面体积公式: 设[a,b]?Rn-1, ?: [a,b] ? Rn (n?k+1) , 正则, S=?([a,b]). 此时, 习惯上有下面的记法 其中e表示第i个元素标准基向量ei的列向量 n-1维超曲面的面积公式(2) 由函数图像给出的曲面体积公式: 函数图像公式[a,b]?Rn-1, g: [a,b] ? R, ?(t)=(t, g(t)), S=?([a,b]) 正则超曲面上的测度 设[a,b]?Rk,?: [a,b] ?Rn (n?k+1),正则, S= ?([a,b]). E?S, 如果?-1(E)是[a,b]的可测集, 就说E是S的可测集,其测度定义为 * *