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一类三自由度碰撞振动系统的分岔与混沌演化
· 机械研究与应用 ·2013年第2期(第26卷，总第124期) 研究与分析
式中 ：“·”表不对无量纲时I司t求导数。尢量 量如
式 0=~otmod2竹，贝0X =(1o，1+，2o，2o，3+，tro
下 (i=1，2，3)：
) 表示碰撞振动系统在 Poincar~截面 上周期 一1
M C K C1
“ ． ’ 碰撞不动点。
Pi AX=(Ax10，Axl+，△20，△ 2o，△ 3+，△ ) 和 AX
一 丽 丽 ，
= ( 。，△ +， ，△ 。，△ +，△ ) 是碰撞不动点
P。： 研 ，： 的扰动量。
当质块 与质块 ，的位移之差 。一 ≤ 时，
用 表示该系统微分方程 的正则模态矩阵。利
扰动运动的方程可以写成(i=1，2)：
用模态叠加法求得方程 (1)的通解如下 (i=1，2)：
2
= Xi()=∑ [e-(ajeosdJ+bjsin∞)+Asin
∑ (e-~jt(~cos(，【t+bisin∞ )+ J=1
(tot+r0+△丁)+BCOS(tot+丁o+△ )]
sin(tot+r)+ cos((o+7I)) (2)
(8)
3=e一 (a3cosDd3t+b3sin6d3t)+
A3sin(tot+ )『+B3CO8(mt+丁) (3) 3 (t)=e一 (a3cos02d3t十b3sin d3t)+A3sin(∞ +
式中：为正则模态矩阵砂的元素；to=√∞一 (= 丁o+△丁)+B3COS(mt+丁o+△7-) (9)
1，2，3)， = ， 和 为振幅常数 (=1，2)： 将扰动边界条件代人到扰动解中，可求得映射
处于不动点时线性化矩阵：
2 of(，0)=of(，AX)l(OAX)l 0) (10)
一(一)+_J(2叼∞) ㈩
运用 Poincar6映射理论分析碰撞振动系统的运
一 (5) 动稳定性 ，求解系统的线性化矩阵。当线性化矩阵有
一 共轭特征值横截单位圆周时，系统可能发生 Hopf
。一(Mk3≤一lTl“3)+(2u3)。。 ㈣ 分岔；当线性化矩阵有一实特征值经过(一1，0)点时，
系统可能会发生倍化分岔；当线性化矩阵有一共轭特
等耐 。 (7)征值横截(1，0)点时，系统可能发生鞍阶分岔。
在适当的参数下，图1所示的碰撞能够表现为周 4 碰撞振
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