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电场磁场中的边缘效应研究 杨 健 理学院03级物理三班 指导老师：程福臻 孙霞 *归纳总结了处理边缘效应的方法体系 数学分析的方法 复变函数中Riemann共形映射理论 磁荷法 二 ：一个基点 ——平行板电容器 两极板间又介电常数为 的介质，讨论将介质抽出至如图所示之位置时，电极板所受之电场力。假设两极板间电压恒定。 这个力怎么产生，为什么可用虚功原理来计算它？ 产生机理：电容器边缘不均匀区的存在，使介质中极化的电偶极子排列不均匀，当介质移动时，横向力F等于非均匀区所有电偶极子受力的合力。 三：边缘效应研究过程中的方法体系 从理论上讲，我们完全可以依赖数学分析的手段进行，但涉及复杂积分。或用数值计算方法逼近，可是，我们总还是希望有一个解析解。灵活运用一些新方法，可达到事半功倍之效果。 1 共形映射 平行板电容器边缘非均匀电场 虚线表示等势面。计算一端时，可忽略另一端之影响，该问题可简化成，两平行半平面导体板，距离2d，电势分别为正负V0。 X轴上V=0,根据其对称性，只需考虑上半平面，记G:有割痕 的上半平面，做一个上半w平面变成G的共形映射，使V=0对应于正实轴，割痕对应于负实轴，该映射为 i.e. 2：磁荷法 等效处理方法，其优势在于，不仅可求解稳恒电流产生的静磁场问题，由于磁荷与电荷形式上的相似性，还可等效地处理静电场。这是利用磁荷法处理边缘效应的理论基础。思路为： 电荷?=磁荷?=稳恒电流 四：结语 边缘效应是理论模型与实际问题的一个结合点。如果对它置之不理，可能会使部分研究结果的严密性，受到极大置疑。甚至带来根本性的变化。我的研究只局限于电场与磁场中的一些简单模型，只是在特定情况下，计算和进行等效处理。可预见的是，边缘效应的研究必将伴随其他相关科学的发展而深入为科学研究服务。 感谢程福臻老师，孙霞老师的耐心指导与启发！ 谢谢大家！ * * 一、问题的提出 我对边缘效应的研究，缘起自程老师引导同学们进行的一次激烈的课堂讨论。对抽拉介质过程中静电力的起因的探讨，激发起我对原有模型的边缘效应的思考。 *计算全空间带电系统的总能量，得出在考虑边缘效应的前提下，静电力的表达形式，并说明可以忽略边缘效应的条件。 *进一步在微观角度重新计算该力，结合虚功原理之实质，指出通常意义下的利用静电能求静电力，只是给出了形式上正确的解。只有结合边缘效应，才能真正解决该问题。 d a b z y y x x o L S 以电容器左边矩形截面中心处0点为坐标原点，建立直角标架。则该系统静电能可计算如下： 观察得，若介质板右端（x=s处），左端（x=-(L-s)处）分别位于均匀区与无电场区（E=0)，则该式变为 由虚功原理 x X 若介质板的右端位于均匀区，左端远离边缘电场。则该式可进一步化为我们通常意义上的用静电能求静电力的形式。 ! 虚功原理的实质是能量转化与守恒。在本例中，由于介质的插入而引起的能量减少，是因为一部分能量转化为极化能，如忽略边缘效应，边缘部分的能量未计入在内，就不能从能量守恒的观点出发，用虚功原理求解F。 忽略边缘效应，会导致F=0，电场方向垂直向下。 前两式之形式等价性，说明我们至少可在忽略边缘效应的条件下，用虚功原理求得一个形式上正确的解。 V=V0 V=-V0 Y x o 电力线 等位线 平行板电容器之一端 By Mathematical 为参数的电力线方程 为参数的等位线方程 求解平行板附近的电场分部，极板间距d，场点离电容器边缘远大于d，但远小于极板尺寸。 将上述面电荷分布代之以几何位形相同的平面磁荷分布。 磁偶极矩 磁偶极子用圆电流环等效。 按替换关系 参考文献 [1]胡友秋，程福臻，刘之景. 电磁学.高等教育出版社. 1997.3 [2]潘永亮，汪芳庭，汪琥庭，宋立功. 复变函数. 科学出版社. 2004.3 [3]秦家桦 . 经典力学. 科大讲义. *