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离散数学的研究对象 由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系， 因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。 离散数学(Discrete Mathematics)是计算机专业的一门重要基础课。它所研究的对象是离散数量关系和离散结构数学结构模型。 离散数学的主要内容 到目前为止，离散数学所研究的精确范围并没有严格的定义，它和其它许多纯粹数学以及应用数学分支之间有着广泛的交叉和相互渗透。但是作为给计算机专业本科生开设的一门专业基础课，其内容相对来说较为明确，主要包括数理逻辑、集合论、代数系统以及图论等几部分。 离散数学是数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程的基础。 数理逻辑 数理逻辑是用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科，也叫做符号逻辑。它的本质是研究如何通过利用纯粹的公理系统和符号演算以及推理方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，并由此将整个的数学建立在这样一个逻辑基础之上。 历史上诸多数学家的努力和推动，尤其是莱布尼茨、布尔、希尔伯特、罗素、图灵、哥德尔等人的工作，部分地实现了这一形式化数学的梦想，但同时也发现了数学基础本身存在的巨大困难。 集合论 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。康托对于无穷集元素个数问题进行了卓越的研究，引领数学研究进入了一个全新的领域。他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数，将元素间能建立一一对应的集合称为个数相同（也称作等势）。并证明了无穷集的势之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次。 问题：试判断自然数集合{x|x=1,2,3,…}和奇数集合{x|x=1,3,5,…}哪个集合的元素个数多？ 图论 “图论”是数学的一个分支，它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。 图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。欧拉在1736年解决了这个问题，他用抽象分析法将这个问题化为第一个图论问题。欧拉证明了柯尼斯堡七桥问题是无解的，并推广了这个问题，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。这使得欧拉成为图论﹝及拓扑学﹞的创始人。 学习离散数学的方法 概念定理多：首先要精确严格地掌握好概念和术语，正确理解他们的内涵和外延。因为公理、定理或定律的基石都是概念，只有正确地理解了概念，才能把握定理的实质，熟练地将公理、定理应用于解决问题。 抽象思维多：完全的、精确的掌握一个概念的好主意是首先要深刻理解概念的内涵，然后举一些属于和不属于该概念外延的正反两方面的实例。如果对一些似是而非的例子也能辨别的话，应该说这个概念正真理理解了。 只需要中学数学基础 。 第一部分 数理逻辑 罗素悖论 一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。　　 因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。　 有趣的对话。甲对乙说：“你会回答我‘不对’，对不对？请用‘对’或‘不对’来回答！” * 先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： ????一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。” ????请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？ ????要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。这又需要经历如下过程： ????(1) 什么是前提？有哪些前提？ ????(2) 结论是什么？  ????