【2017年整理】1.4 行列式按行(列)展开.ppt

1.4 行列式按行（列）展开;定义1：;;注：元素 的余子式（代数余子式）只与它的位置有关，与它本身的值，还有第i行，第j列上的其他任何元素无关;定理1 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式之和 或　　　　;推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 或　　　　;综上，得公式;　例1　证明范德蒙德（Vander-monde）行列式 证　对行列式阶数用数学归纳法．当 时， 　　　　　　 　　　　　　 ;结论成立．假设对 阶范德蒙德行列式结论成立，往证 阶范德蒙德行列式也成立． 从第 行开始，后行减前行的 倍，得 按第1列展开，并提出每一列的公因子 ，;有 上式右端的行列式是一个 阶范德蒙德行列 式，由归纳法假设，它等于所有 因子的乘 积，其中 ，即 ;;　例 计算 解 　　　　　　　　　　　　　　　 ;练习：用降阶法（按行按列展开） 计算行列式的值。;总结： 1、定义法：“0”巨多（很少用） 2、化三角形法： (a) 行（列）和相等，如P15：例3，P16例4，P23：例3, (1)，P24：例4, P38:10 (2), P39:14（5）; (b)三条线型行列式：爪型（P41,4（3）），两对一边（P38，14（4）），三对角线型（如P25，例6）. 3、降阶法： (a)直接根据行列式的性质将某一行元素化成尽可能多的“0”，然后展开（ P23：例3, (2) ）; (b)归纳法：如P26：例7(范德蒙德行列式); (c)递推法，如P25：例6.;注： 1、对于行（列）和相等的行列式，我们通常把第二行到第n行都加到第一行(列)上去，使得第一行（列）的元素都相等，然后提公因子。 2、我们在计算行列式时首先要观察它的结构再计算（ P37: 8（2），（5）） ;1.5 克拉默法则; 对于二元一次方程组 　　 当系数行列式 时,有惟一解; 我们知道，二元一次方程组的解可以用行列式表示，那么含有 n 个未知量x1 , x2 , … , xn 的 n 个线性方程 的方程组; 设含有 个未知数， 个方程的线性方程组为 　　　　　 　　　　　 (2) 阶行列式 称为方程组(2)的系数行列式． ;定理1（克拉默法则）　若线性方程组(2)的系数行列式 ，则方程组有惟一解 (3) 　　　　　　　　　　　　　　　　 其中 是将系数行列式 中第 列的元素用方 程组右端的常数项 代替后所得到的 阶行列式，即;例1;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;于是得; 注: 1、利用克拉默法则求解时，这个方程组必须满足两个条件: (a) 方程组中方程的个数必须与未知量的个数相等，（b）系数行列式不为零。 2、理论意义：克拉默法给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大。 ;3. 撇开求解公式;例2;于是得;线性方程组;对于齐次线性方程组;定理3：;例3 问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解． 解　由定理6可知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 ，而 　　　　　　;由 ，解得 、 或 ． 不难验证，当