西南财经大学 期权期货及其他衍生品12章节.pptVIP

微笑曲线(Volatility smile) BSM 期权定价公式的精确度评价 BSM 期权定价公式在定价方面存在一定偏差，但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳模型之一，应用广泛，影响深远。 BSM 期权定价与市场价格存在差异的主要原因： 期权市场价格偏离均衡； 使用错误的参数； BSM 期权定价公式建立在众多假定的基础上。 BSM 期权定价公式的缺陷与拓展 无交易成本假设的放松 常数波动率假设的放松 参数假设的放松 资产价格连续变动假设的放松 练习 Hull, page 304， 13.17, 13.26, 13.28,13.29，13.12 要求：答案和结果可用A4纸直接上交。 * * * BSM 微分分程的推导 I 由于假设股票价格 S 遵循几何布朗运动，因此有： 在一个小的时间间隔 ?t 中， S 的变化值 ?S 为： BSM 微分分程的推导 II 设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和t 的函数，根据伊藤引理可得： 在一个小的时间间隔 ?t 中， f 的变化值 ?f 满足： BSM 微分分程的推导 III 为了消除风险源 ?z ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。 令 Π 代表该投资组合的价值，则： 在 ?t 时间后，该投资组合的价值变化 ?Π 为： BSM 微分分程的推导 IV 代入 ?f 和 ?S 可得 由于消除了风险，组合 Π 必须获得无风险收益，即 BSM 微分分程的推导 V 因此 化简可得： 这就是著名的 BSM 微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的定价。 风险中性定价原理 I 观察 BSM 微分方程可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对 f 的值产生影响。 因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。 风险中性定价原理 II 在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”）： 所有证券的预期收益率都等于无风险利率 r，因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。 同样，在风险中性条件下，所有现金流都应该使用无风险利率进行贴现求得现值。 这就是风险中性定价原理。 理解风险中性定价 I 假设一种不支付红利股票目前的市价为 10 元，我们知道在 3 个月后，该股票价格要么是 11 元，要么是 9 元。现在我们要找出一份 3 个月期协议价格为 10.5 元的该股票欧式看涨期权的价值。 由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于 3 个月后股票的市价。若 3 个月后该股票价格等于 11 元，则该期权价值为 0.5 元；若 3 个月后该股票价格等于 9 元，则该期权价值为 0 。 理解风险中性定价 II 为了找出该期权的价值，我们可构建一个由 1 单位看涨期权空头和 ? 单位的标的股票多头组成的组合。 若 3 个月后股票价格等于 11 元，该组合价值等于(11? ? 0.5) 元；若 3 个月后该股票价格等于 9 元，该组合价值等于 9? 元。 由于 11? ? 0.5 = 9? ? ? = 0.25 因此，一个无风险组合应包括 1 份看涨期权空头和0.25 股标的股票。无论 3 个月后股票价格等于 11 元还是 9 元，该组合价值都将等于 2.25 元。 理解风险中性定价 III 假设现在的无风险年利率为 10% ，则该组合现值为 因此 这就是说，该看涨期权的价值应为 0.31 元，否则就会存在无风险套利机会。 理解风险中性定价 IV 可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格在真实世界中上涨到 11 元的概率和下降到 9 元的概率。也就是说，我们并不需要了解真实世界中股票未来价格的期望值，而期望值的确定正与投资者的主观风险偏好相联系。 因此我们可以在假设风险中性的前提下为期权定价。 理解风险中性定价 V 投资者厌恶风险程度、股票的预期收益率和股票升跌概率之间的联系： 在风险中性世界中，无风险利率为 10% ，则股票上升的概率 P 为： 如果在现实世界中股票的预期收益率为 15% ，则股票的上升概率为： 无收益资产欧式看涨期权的定价公式 I 在风险中性世界中，无收益资产欧式看涨期权到期时(T 时刻)的期望值为： 其中， 表示风险中性条件下的期望值。 相应地欧式看涨期权的价格 c 等于 无收益资产欧式看涨期权的定价公式 II 由于在风险中性世界中 无收益资产欧式看涨期权的