第1章数与数系教程.doc

数与数系 第一节 数系的历史发展 第二节 自然数 按现代数学的观点，整个数学建立在自然数和集合基础上，只要自然数和集合是严格的，那么整个数学就是严格的。本章将讨论如何用公理化的体系来建立严格的自然数。 从小学一年级开始，你已经接触自然数，你已经与数打了十多年的交道，而且你知道如何按照代数法则来化简数的表达式，但是我们要处理一个更基本的事情，那就是：为什么这些代数法则总有效力？例如，为什么对于任何三个数a,b,c,表达式a(b+c)等于ab+ac总是真确的？这不是一个任意选择的法则，它可以由数系更为原始的也更为基本的性质来证明。用更简单的性质来证明复杂的性质是数学的基本思想。你会发现，即使一个命题可能是“明显的”，它却可能不是易于证明的。 我们首先碰到的问题是：如何定义自然数？（这与怎么样使用自然数是非常不同的问题。使用自然数当然你十分了解，这就象知道如何使用一台计算机与知道如何建造这台计算机是完全不同的两回事）。 回答这个问题比问题本身看上去要困难得多。基本的问题是你使用自然数已经太久了，以致这些数都已深深地嵌入你的数学思维之中，使得你甚至不必思考你在做什么就能作出关于这些数的各种不明显的假设（例如a+b总是等于b+a）,很难让你像第一次见到它那样去考察这个数系。所以你不得不执行一个相当艰巨的任务：暂时把你知道的关于自然数的一切放到一边：忘记怎么样记数，忘记加法，忘记乘法，忘记代数律等等。我们将逐步引入这些概念，在这一过程中，明确哪些是我们的假定，哪些是从假定开始演绎出来的。这个过程也是树立你的数学知识的牢固根基的一个极好的方式。此处你实行的证明和抽象思考，对于你理解数学，进一步学习数学将会有无法估量的益处。 1 自然数 按照已有的数学知识，大家都知道，自然数是指集合：N ( {0,1,2,3,…}的元素。于是我们可以定义 　　定义（不正式）自然数是指集合N ( {0,1,2,3,…}的元素，此集合是由从0开始无休止地往前数所得到的一切数的集。我们把N称为自然数集。 注：在有些教材中，自然数是从1开始而不是从0开始的，但这只是一个符号约定而已。本书中我们把{1,2,3，．．．}叫作正整数集，用Ｚ＋表示． 这个定义在一定意义上解决了自然数是什么的问题：一个自然数是集合N的一个元素。但是，这并不是完全可接受的，因为它遗留下许多没有回答的问题。例如：怎么知道我们可以无休止的数下去而不会循环回到0？你怎么样实行运算，如加法、乘法等？ 我们先回答第一个问题：可以通过简单的运算来定义复杂的运算。53是3个5相乘，5(3是3个5加在一起，而加法呢？这只不过是向前数或增长的重复运作：如果你把5加上3，你所做的只不过是让5增长了3次。另一方面增长似乎是一个基本的运算，它没法再用更简单的运算定义。的确，它是人们遇到的关于数的第一个运算，甚至在学习加法之前。自然数不断地数下去，实际上就是不断地进行增长操作。 为了定义自然数，我们将使用两个基础性的概念：0以及增长运算。按照现代计算机语言，我们用n++代表n的增长（increment）或n的后继者(successor), 于是，似乎我们要说的N是由0和每个可由0经增长而得者所组成：N应该是由对象 0,0++，(0++)++, ((0++)++)++, … 等所组成。如果我们着手写出关于自然数是什么，那么应该有下述涉及0和增长运算++的公理： 公理1.1：0是自然数. 公理1.2：若n为自然数，则n((也是自然数.（n((是n的增长） 定义1.2.1：定义1是数0((, 2是(0(()((, 3是数[(0(()((]((，… ；换句话说：1是数0((，2是1((, 3是2((，… 命题1.2.1：3是自然数.（可用以上公理、定义证明） 证明：由公理3.1知0是自然数 由公理3.2知1 ( 0(( 是自然数 从而2 ( 1((也是自然数 进而3 = 2((是自然数 例1.2.1：考虑由0,1,2,3,组成的数系，规定： 0(( ( 1 ，1(( ( 2 ，2(( ( 3，3(( ( 0 可见仅由公理1.1和1.2不能确定集合N. 公理1.3: 0不是任何自然数的增长.即对于每个自然数n，都有n(( ( 0. 命题1.2.2： 4不等于0 证明：4 ( 3 (( 由命题1.2.1可知3是自然数，由公理3.3知：4 ( 3(( ( 0. 例1.2.2：考虑由0,1,2,3,4组成的数系 规定：0(( ( 1 ，1(( ( 2， 2(( ( 3， 3(( ( 4， 4(( ( 4 公理1.4：若n，m是自然数且n ( m，则n (( ( m ((；等价地： n (( ( m (( ( n ( m 例1.2.3：考虑{0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3,…} 规定0