第2讲椭圆、双曲线、抛物线教程.docx

　椭圆、双曲线、抛物线 1．(2015·福建改编)若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且PF1＝3，则PF2等于________．1．9解析　由双曲线定义|PF2－PF1|＝2a，∵PF1＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴PF2－PF1＝6，∴PF2＝9. 2．(2014·课标全国Ⅰ改编)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq \o(FP,\s\up6(→))＝4eq \o(FQ,\s\up6(→))，则QF等于________．3 解析　∵eq \o(FP,\s\up6(→))＝4eq \o(FQ,\s\up6(→))，∴|eq \o(FP,\s\up6(→))|＝4|eq \o(FQ,\s\up6(→))|，∴eq \f(PQ,PF)＝eq \f(3,4).如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则AF＝4，∴eq \f(PQ,PF)＝eq \f(QQ′,AF)＝eq \f(3,4)， ∴QQ′＝3，根据抛物线定义可知QQ′＝QF＝3. 3．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．.eq \f(\r(2),2)解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝eq \f(|1－0|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(2),2).由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤eq \f(\r(2),2)，故c的最大值为eq \f(\r(2),2). 4．(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0b1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为_______x2＋eq \f(3,2)y2＝1 解析　设点B的坐标为(x0，y0)．∵x2＋eq \f(y2,b2)＝1，∴F1(－eq \r(1－b2)，0)，F2(eq \r(1－b2)，0)． ∵AF2⊥x轴，∴A(eq \r(1－b2)，b2)．∵AF1＝3F1B，∴eq \o(AF1,\s\up6(→))＝3eq \o(F1B,\s\up6(→))，∴(－2eq \r(1－b2)，－b2) ＝3(x0＋eq \r(1－b2)，y0)．∴x0＝－eq \f(5,3)eq \r(1－b2)，y0＝－eq \f(b2,3).∴点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)\r(1－b2)，－\f(b2,3))). 将Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)\r(1－b2)，－\f(b2,3)))代入x2＋eq \f(y2,b2)＝1，得b2＝eq \f(2,3).∴椭圆E的方程为x2＋eq \f(3,2)y2＝1. 1.以填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质?特别是离心率?.2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系?弦长、中点等?. 热点一　圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：PF1＋PF2＝2a(2aF1F2)；(2)双曲线：|PF1－PF2|＝2a(2aF1F2)； (3)抛物线：PF＝PM，点F不在直线l上，PM⊥l于M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1　(1)若椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF2＝4，则∠F1PF2＝_120_______. 解析　(1)由题意得a＝3，c＝eq \r(7)，所以PF1＝2.在△F2PF1中，由余弦定理可得cos∠F2PF1＝eq \f(42＋22－(2\r(7))2,2×4×2)＝－eq \f(1,2).又因为cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°.. (2)(2015·丰台模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝eq \r(3)x，它的一个焦点坐标为(